8. 如图,某机械传动装置在静止状态时,连杆PA与点A运动所形成的⊙O交于点B,现测得PB= 4cm,AB= 5cm,⊙O的半径R= 4.5cm,则此时点P到圆心O的距离是
7.5
cm.
答案：7.5
解析：
连接PO，过O作OC⊥PA于C，由垂径定理得C为AB中点。
∵AB=5cm，∴BC=AC=2.5cm。
∵PB=4cm，∴PC=PB+BC=4+2.5=6.5cm。
在Rt△OCB中，OB=4.5cm，BC=2.5cm，
∴OC²=OB²-BC²=4.5²-2.5²=20.25-6.25=14。
在Rt△POC中，PC=6.5cm，OC²=14，
∴PO²=PC²+OC²=6.5²+14=42.25+14=56.25，
∴PO=7.5cm。
9. 已知四边形ABCD内接于⊙O,且∠A、∠C的度数之比为1:2,则∠BOD=
120°
.
答案：$120^{\circ}$（按照题目要求这里应填数值，若选项是以特殊方式给定，由于无选项内容，按实际答案呈现）
解析：
因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的性质，其对角互补，所以$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$（圆内接四边形对角互补）。
已知$\angle A$、$\angle C$的度数之比为$1:2$，设$\angle A = x$，则$\angle C = 2x$，可得$x + 2x = 180^{\circ}$，即$3x = 180^{\circ}$，解得$x = 60^{\circ}$，所以$\angle A = 60^{\circ}$。
在$\odot O$中，圆心角$\angle BOD$是圆周角$\angle A$的$2$倍（同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍），所以$\angle BOD = 2\angle A = 120^{\circ}$。
10. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,AB= 10,BC= 6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别交于点D、E,则线段DE长度的最小值是
24/5
.
答案：24/5
解析：
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立坐标系，C(0,0)，A(8,0)，B(0,6)，AB方程：3x+4y-24=0。
∵∠DCE=90°，∴DE为圆的直径，设圆心为O，半径为r，则DE=2r，O为DE中点，设O(x,y)，则r=√(x²+y²)。
∵圆与AB相切，∴O到AB距离为r，即(24-3x-4y)/5=r，故3x+4y=24-5r。
由柯西不等式(3x+4y)²≤25(x²+y²)，得(24-5r)²≤25r²，解得r≥12/5。
∴DE=2r≥24/5，最小值为24/5。
11. 如图,在△ABC中,BC是⊙O的直径,∠A= 70°,BC= 2,图中阴影部分的面积为
7π/18
.
答案：【解析】：
∵BC是⊙O的直径，
∴⊙O半径r=1，圆心为O。∠A=70°，由圆周角定理得，∠A所对弧的圆心角∠BOC=2∠A=140°。阴影部分为扇形OBC，其面积S=（nπr²）/360=（140π×1²）/360=7π/18。
【答案】：7π/18
12. 如图,一个半圆形工件的直径平行于地面放置,搬动时为了保护圆弧部分不受损伤,先将半圆作如图所示的无滑动翻转,使它的直径紧贴地面,再将它沿地面平移50m,半圆的直径为4m,则圆心O所经过的路线长是
$50 + \pi$
m(结果用π表示).
答案：$50 + \pi$
解析：
半圆直径为4m，半径r=2m。
翻转过程：无滑动翻转时，圆心轨迹为一段圆弧。初始直径平行地面，翻转后直径紧贴地面，圆心绕接触点旋转90°（π/2弧度），轨迹半径为r=2m，弧长为$l_1 = \alpha r = \frac{\pi}{2} × 2 = \pi$ m。
平移过程：沿地面平移50m，圆心沿直线移动50m，路程$l_2 = 50$ m。
总路线长为$l_1 + l_2 = \pi + 50$ m。
13. (12分)同一平面直角坐标系中有:点A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).
(1) 画出△ABC的外接圆⊙P,并指出点D与⊙P的位置关系;
(2) 若直线l经过点D(-2,-2)、E(0,-3),判断直线l与⊙P的位置关系.
答案：(1) 点D在⊙P上；(2) 直线l与⊙P相切。
解析：
(1) 由A(1,1)，B(-3,-1)，C(-3,1)，可得AC⊥BC（AC平行x轴，BC垂直x轴），△ABC为直角三角形，斜边为AB。
AB中点即外接圆圆心P：$P\left(\frac{1+(-3)}{2},\frac{1+(-1)}{2}\right)=(-1,0)$。
半径$R=\frac{1}{2}AB$，$AB=\sqrt{(-3-1)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$，故$R=\sqrt{5}$。
点D(-2,-2)到P(-1,0)距离：$PD=\sqrt{(-2+1)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}=R$，则点D在⊙P上。
(2) 直线l过D(-2,-2)，E(0,-3)，斜率$k=\frac{-3-(-2)}{0-(-2)}=-\frac{1}{2}$，方程为$y=-\frac{1}{2}x-3$，即$x+2y+6=0$。
圆心P(-1,0)到直线l距离$d=\frac{|-1+0+6|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}=R$，故直线l与⊙P相切。
