20. (8分)已知关于$x的一元二次方程(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)= 0$,其中$a$、$b$、$c分别为\triangle ABC$三边的长.
(1)如果$x = -1$是方程的根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由；
(3)如果$\triangle ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
答案：(1)将$x=-1$代入方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)= 0$，得：
$(a + c)(-1)^2 + 2b(-1) + (a - c) = 0$
化简得：$a + c - 2b + a - c = 0$，即$2a - 2b = 0$，$a = b$。
故$\triangle ABC$是等腰三角形。
(2)方程有两个相等实数根，判别式$\Delta = 0$。
$\Delta = (2b)^2 - 4(a + c)(a - c) = 4b^2 - 4(a^2 - c^2) = 4(b^2 + c^2 - a^2)$。
令$\Delta = 0$，得$b^2 + c^2 - a^2 = 0$，即$a^2 = b^2 + c^2$。
故$\triangle ABC$是直角三角形。
(3)$\triangle ABC$是等边三角形，则$a = b = c$。
原方程化为$(a + a)x^2 + 2ax + (a - a) = 0$，即$2ax^2 + 2ax = 0$。
提取公因式$2ax$，得$2ax(x + 1) = 0$。
$\because a \neq 0$，$\therefore x = 0$或$x = -1$。
故方程的根为$x_1 = 0$，$x_2 = -1$。
21. (8分)某公司投资新建了一商场,共有商铺$30$间. 据预测,当每间的年租金定为$10$万元时,可全部租出. 每间的年租金每增加$5000$元,少租出商铺$1$间. 该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用$1$万元,未租出的商铺每间每年交各种费用$5000$元.
(1)当每间商铺的年租金定为$13$万元时,能租出多少间？
(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益为$275$万元？(收益$=租金-$各种费用)
答案：(1)
增加的租金为$13 - 10 = 3$（万元），$3$万元$= 30000$元，$\frac{30000}{5000} = 6$，
所以少租出$6$间，能租出的商铺为$30 - 6 = 24$（间）。
(2)
设每间商铺的年租金增加$x$个$5000$元，则每间商铺年租金为$(10 + 0.5x)$万元，能租出$(30 - x)$间，未租出$x$间。
租金总收入为$(10 + 0.5x)(30 - x)$万元，
租出商铺的费用为$1×(30 - x)$万元，未租出商铺的费用为$0.5x$万元。
根据收益公式可得方程：
$(10 + 0.5x)(30 - x)-1×(30 - x)-0.5x = 275$
$300-10x + 15x-0.5x^{2}-30 + x-0.5x = 275$
$-0.5x^{2}+(15 - 10 + 1 - 0.5)x+300 - 30 - 275 = 0$
$-0.5x^{2}+5.5x - 5 = 0$
$x^{2}-11x + 10 = 0$
$(x - 1)(x - 10)=0$
解得$x = 1$或$x = 10$。
当$x = 1$时，每间商铺年租金为$10+0.5×1 = 10.5$（万元）；
当$x = 10$时，每间商铺年租金为$10+0.5×10 = 15$（万元）。
综上，(1)能租出$24$间；(2)当每间商铺年租金定为$10.5$万元或$15$万元时，年收益为$275$万元。
解析：
(1)
每间年租金增加：$13 - 10 = 3$（万元）$= 30000$元
少租出商铺数：$30000 ÷ 5000 = 6$（间）
能租出商铺数：$30 - 6 = 24$（间）
(2)
设每间商铺年租金增加$x$万元，则年租金为$(10 + x)$万元，少租出商铺$\frac{x}{0.5} = 2x$间，租出商铺$(30 - 2x)$间，未租出商铺$2x$间。
收益 = 租金 - 各种费用
租金 = $(10 + x)(30 - 2x)$
各种费用 = $1 × (30 - 2x) + 0.5 × 2x = 30 - 2x + x = 30 - x$
依题意：$(10 + x)(30 - 2x) - (30 - x) = 275$
整理得：$300 - 20x + 30x - 2x^2 - 30 + x = 275$
$-2x^2 + 11x + 270 = 275$
$2x^2 - 11x + 5 = 0$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = 0.5$
当$x = 5$时，年租金：$10 + 5 = 15$（万元）
当$x = 0.5$时，年租金：$10 + 0.5 = 10.5$（万元）
答：
(1)能租出24间；
(2)每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元时，年收益为275万元。
