18. (6分)如图,小亮家想利用房屋的一堵墙砌一个矩形羊圈. 现在已备足可以砌$12$m长的墙的材料.
(1)若小亮家想砌面积为$16$m^2的矩形羊圈,请设计出可行的方案.
(2)若小亮家想砌面积为$20$m^2的矩形羊圈,你认为可能吗？说明理由.
答案：设矩形羊圈垂直于墙的一边长为$x$m，则平行于墙的一边长为$(12 - 2x)$m。
(1) 根据题意，得$x(12 - 2x) = 16$，
整理得$x^{2} - 6x + 8 = 0$，
解得$x_{1} = 2$，$x_{2} = 4$。
当$x = 2$时，$12 - 2x = 8$；
当$x = 4$时，$12 - 2x = 4$。
因此，可行的方案有两种：
方案一：垂直于墙的两边长为$2$m，平行于墙的一边长为$8$m；
方案二：垂直于墙的两边长为$4$m，平行于墙的一边长为$4$m。
(2) 不可能。理由如下：
假设能砌成面积为$20m^{2}$的矩形羊圈，
则根据题意，得$x(12 - 2x) = 20$，
整理得$x^{2} - 6x + 10 = 0$。
计算判别式$\Delta = (-6)^{2} - 4 × 1 × 10 = -4 ＜ 0$，
因此该方程无实数解。
所以，不能砌成面积为$20m^{2}$的矩形羊圈。
19. (6分)如图,已知矩形$ABCD的边长AB = 3$cm,$BC = 6$cm,某一时刻,动点$M从点A$出发,沿$AB方向以1$cm/s的速度向点$B$匀速运动；同时,动点$N从点D$出发,沿$DA方向以2$cm/s的速度向点$A$匀速运动. 经过多少时间,$\triangle AMN的面积等于矩形ABCD面积的\frac{1}{9}$？
答案：设经过$ t $秒，$\triangle AMN$的面积等于矩形$ABCD$面积的$\frac{1}{9}$。
矩形$ABCD$面积：$AB × BC = 3 × 6 = 18 \, cm^2$，则$\triangle AMN$面积需为$18 × \frac{1}{9} = 2 \, cm^2$。
由题意：
动点$M$的速度为$1 \, cm/s$，则$AM = t \, cm$；
动点$N$的速度为$2 \, cm/s$，则$DN = 2t \, cm$，$AN = AD - DN = 6 - 2t \, cm$（$AD = BC = 6 \, cm$）。
$\triangle AMN$为直角三角形（$\angle A = 90^\circ$），面积公式：$\frac{1}{2} × AM × AN = 2$。
代入得：$\frac{1}{2} × t × (6 - 2t) = 2$。
化简方程：$\frac{t(6 - 2t)}{2} = 2 \implies t(6 - 2t) = 4 \implies 6t - 2t^2 = 4 \implies t^2 - 3t + 2 = 0$。
解得：$t = 1$或$t = 2$。
检验：$t = 1$和$t = 2$均满足$0 \leq t \leq 3$（$M$、$N$未到达终点）。
答：经过$1$秒或$2$秒。
