因为$x = 1$是方程$3x^{3}-2x^{2}+x - 4 + a = 0$的解，所以将$x = 1$代入方程得：$3×1^{3}-2×1^{2}+1 - 4 + a = 0$，即$3 - 2 + 1 - 4 + a = 0$，解得$a = 2$。
将$a = 2$代入$3a^{3}-2a^{2}+a - 4$得：$3×2^{3}-2×2^{2}+2 - 4 = 3×8 - 2×4 + 2 - 4 = 24 - 8 + 2 - 4 = 14$。
C

因为方程$(4 - m)x^{|m| - 3} - 16 = 0$是关于$x$的一元一次方程，所以需满足：
1. 未知数$x$的次数为$1$，即$|m| - 3 = 1$，解得$|m| = 4$，$m = \pm 4$；
2. 未知数$x$的系数不为$0$，即$4 - m \neq 0$，解得$m \neq 4$。
综上，$m = -4$。
D

A. 若$2x = 2a - b$，则$x = a - \frac{b}{2}$，故A错误；
B. 若$x^2 = 6x$，则$x^2 - 6x = 0$，$x(x - 6) = 0$，$x = 0$或$x = 6$，故B错误；
C. 若$a + 5 = 5 - b$，则$a = -b$，故C错误；
D. 若$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，则$a = b$（$c \neq 0$），故D正确。
D

解方程$6x-(x+10)= 5x+2(x-1)$。
去括号，得$6x - x - 10 = 5x + 2x - 2$。
移项，得$6x - x - 5x - 2x = -2 + 10$。
合并同类项，得$-2x = 8$。
系数化为1，得$x = -4$。
原步骤第二步移项时，$2x$未变号，开始出现错误。
B

小明误将方程看作$7a - x = 18$，把$x = -4$代入得：$7a - (-4) = 18$，即$7a + 4 = 18$，解得$7a = 14$，$a = 2$。原方程为$7×2 + x = 18$，即$14 + x = 18$，解得$x = 4$。
D