1. (2025·南京期末)下列各式中,是一元一次方程的是 (
B
)
A.$ 5 x - y = 8 $
B.$ 1 = 3 y $
C.$ 2 x + \frac { 1 } { x } = 3 x - 1 $
D.$ x ^ { 2 } = 1 $
答案：B
解析：
要判断一个式子是否为一元一次方程，需满足以下条件：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式。
A. $5x - y = 8$，含有两个未知数$x$和$y$，不符合“一元”，不是一元一次方程。
B. $1 = 3y$，只含有一个未知数$y$，未知数的次数是1，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程。
C. $2x + \frac{1}{x} = 3x - 1$，$\frac{1}{x}$是分式，不是整式，不符合“整式方程”，不是一元一次方程。
D. $x^2 = 1$，未知数$x$的次数是2，不符合“次数是1”，不是一元一次方程。
答案：B
2. (2024·宿迁期末)下列方程中,解为 $ x = 2 $ 的一元一次方程是 (
D
)
A.$ x ^ { 2 } - 4 = 0 $
B.$ 2 + 4 x = 8 $
C.$ 3 x ^ { 2 } - 1 = 2 $
D.$ 4 - 2 x = 0 $
答案：D
解析：
解：将$x = 2$分别代入各选项：
A选项：$2^2 - 4 = 0$，但$x^2 - 4 = 0$是一元二次方程，不符合题意。
B选项：$2 + 4×2 = 10 ≠ 8$，等式不成立。
C选项：$3×2^2 - 1 = 11 ≠ 2$，等式不成立，且是一元二次方程。
D选项：$4 - 2×2 = 0$，等式成立，且是一元一次方程。
D
3. 若 $ a , b $ 互为相反数 ($ a $ 不为 0 ),则关于 $ x $ 的一元一次方程 $ a x + b = 0 $ 的解是 (
A
)
A.$ x = 1 $
B.$ x = - 1 $
C.$ x = - 1 $ 或 $ x = 1 $
D.任意有理数
答案：A 解析:因为 a,b 互为相反数,所以 $ a = -b $。因为 $ ax + b = 0 $，所以 $ ax = -b $，所以 $ -bx = -b $，所以 $ x = 1 $，故选 A。
4. (2024·无锡校级月考)整式 $ m x - n $ 的值随 $ x $ 取值的变化而变化,下表是当 $ x $ 取不同值时对应的整式的值:
| $ x $ | $ - 1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ |
| $ m x - n $ | $ - 8 $ | $ - 4 $ | $ 0 $ | $ 4 $ | $ 8 $ |
则关于 $ x $ 的方程 $ - m x + n = 8 $ 的解为 (
A
)
A.$ x = - 1 $
B.$ x = 0 $
C.$ x = 1 $
D.$ x = 3 $
答案：A 解析:因为 $ -mx + n = 8 $，所以 $ mx - n = -8 $。由题中表格可知当 $ x = -1 $ 时，$ mx - n = -8 $，所以关于 x 的方程 $ -mx + n = 8 $ 的解为 $ x = -1 $。故选 A。
5. (1)如果方程 $ 2 x ^ { n - 3 } + n = 0 $ 是关于 $ x $ 的一元一次方程,那么 $ n = $
4
.
(2)若 $ ( a - 2 ) x ^ { | a | - 1 } + 4 = 0 $ 为一元一次方程,则 $ a = $
-2
.
答案：(1)4 (2)-2
解析：
(1) 解：因为方程 $2x^{n-3} + n = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程，所以未知数 $x$ 的次数为 1，即 $n - 3 = 1$，解得 $n = 4$。
(2) 解：因为方程 $(a - 2)x^{|a| - 1} + 4 = 0$ 为一元一次方程，所以未知数 $x$ 的次数为 1 且系数不为 0。即 $\begin{cases} |a| - 1 = 1 \\ a - 2 \neq 0 \end{cases}$，由 $|a| - 1 = 1$ 得 $|a| = 2$，所以 $a = \pm 2$；又因为 $a - 2 \neq 0$，所以 $a \neq 2$，综上 $a = -2$。
答案：(1) 4；(2) -2
6. 若方程 $ a x + b = 3 $ 的解是 $ x = 5 $,则关于 $ x $ 的方程 $ a ( x + 2 ) + b = 3 $ 的解是
$ x = 3 $
.
答案：$ x = 3 $ 解析:由题意可得当 $ x = 5 $ 时，等式 $ ax + b = 3 $ 成立，则要使得 $ a(x + 2) + b = 3 $ 成立，应满足 $ x + 2 = 5 $，解得 $ x = 3 $。
解析：
解：因为方程 $ax + b = 3$ 的解是 $x = 5$，所以当 $x = 5$ 时，$ax + b = 3$ 成立。
对于方程 $a(x + 2) + b = 3$，令 $y = x + 2$，则方程可化为 $ay + b = 3$。
因为 $ay + b = 3$ 与 $ax + b = 3$ 形式相同，且 $ax + b = 3$ 的解为 $x = 5$，所以 $y = 5$，即 $x + 2 = 5$，解得 $x = 3$。
故答案为 $x = 3$。
7. 教材 P114 练习 T2 变式 解下列方程:
(1) $ \frac { 5 } { 2 } x - 7 = \frac { 3 } { 2 } x + 1 $;
(2) $ - 9 x = 3 - 3 x $;
(3) $ \frac { 2 } { 5 } x - 8 = \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 5 } x $;
(4) $ 2 ( x - 1 ) + 1 = 3 ( x - 1 ) - 1 $.
答案：(1)$ x = 8 $ (2)$ x = -\frac{1}{2} $ (3)$ x = \frac{55}{4} $ (4)$ x = 3 $
解析：
(1)解：移项，得$\frac{5}{2}x - \frac{3}{2}x = 1 + 7$
合并同类项，得$x = 8$
(2)解：移项，得$-9x + 3x = 3$
合并同类项，得$-6x = 3$
系数化为1，得$x = -\frac{1}{2}$
(3)解：移项，得$\frac{2}{5}x + \frac{1}{5}x = \frac{1}{4} + 8$
合并同类项，得$\frac{3}{5}x = \frac{33}{4}$
系数化为1，得$x = \frac{55}{4}$
(4)解：移项，得$2(x - 1) - 3(x - 1) = -1 - 1$
合并同类项，得$-(x - 1) = -2$
去括号，得$-x + 1 = -2$
移项，得$-x = -3$
系数化为1，得$x = 3$
8. 新题型 新定义 定义:称关于 $ x $ 的方程 $ a x - b = 0 $ 与方程 $ b x - a = 0 $ ($ a , b $ 均为不等于 0 的常数)互为“反对方程”,例如:方程 $ 2 x - 1 = 0 $ 与方程 $ x - 2 = 0 $ 互为“反对方程”.
(1)若关于 $ x $ 的方程 $ 2 x - 3 = 0 $ 与方程 $ 3 x - c = 0 $ 互为“反对方程”,则 $ c = $
2
;
(2)若关于 $ x $ 的方程 $ 2 x - 3 = d $ 与其“反对方程”的解都是整数,求整数 $ d $ 的值;
$ 2x - 3 = d $ 变形为 $ 2x - (3 + d) = 0 $，由题意可知方程 $ 2x - (3 + d) = 0 $ 的“反对方程”为 $ (3 + d)x - 2 = 0 $。解 $ 2x - (3 + d) = 0 $，得 $ x = \frac{3 + d}{2} $。解 $ (3 + d)x - 2 = 0 $，得 $ x = \frac{2}{3 + d} $。因为 $ 2x - (3 + d) = 0 $ 与 $ (3 + d)x - 2 = 0 $ 的解都是整数，所以 $ x = \frac{3 + d}{2} $ 与 $ x = \frac{2}{3 + d} $ 都是整数，且 d 为整数，所以当 $ d = -1 $ 或 -5 时，$ \frac{3 + d}{2} $ 与 $ \frac{2}{3 + d} $ 都是整数，故整数 d 的值为 -1 或 -5。
(3)已知关于 $ x $ 的一元一次方程 $ \frac { 2026 } { 2027 } x + 5 = m $ 的解为 $ x = - \frac { 1 } { 2 } $,那么关于 $ y $ 的一元一次方程 $ ( m - 5 ) ( y + 1 ) = \frac { 2026 } { 2027 } $ 的解为
$ y = -3 $
.
答案：(1)2 (2)$ 2x - 3 = d $ 变形为 $ 2x - (3 + d) = 0 $，由题意可知方程 $ 2x - (3 + d) = 0 $ 的“反对方程”为 $ (3 + d)x - 2 = 0 $。解 $ 2x - (3 + d) = 0 $，得 $ x = \frac{3 + d}{2} $。解 $ (3 + d)x - 2 = 0 $，得 $ x = \frac{2}{3 + d} $。因为 $ 2x - (3 + d) = 0 $ 与 $ (3 + d)x - 2 = 0 $ 的解都是整数，所以 $ x = \frac{3 + d}{2} $ 与 $ x = \frac{2}{3 + d} $ 都是整数，且 d 为整数，所以当 $ d = -1 $ 或 -5 时，$ \frac{3 + d}{2} $ 与 $ \frac{2}{3 + d} $ 都是整数，故整数 d 的值为 -1 或 -5。 (3)$ y = -3 $ 解析:$ \frac{2026}{2027}x + 5 = m $ 可变形为 $ \frac{2026}{2027}x - (m - 5) = 0 $，由题意得，互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，所以 $ (m - 5)x - \frac{2026}{2027} = 0 $ 的解为 $ x = -2 $。因为 $ (m - 5)(y + 1) = \frac{2026}{2027} $，所以 $ y + 1 = -2 $，$ y = -3 $。
解析：
(1)2
(2)解：方程$2x - 3 = d$变形为$2x-(3 + d)=0$，其“反对方程”为$(3 + d)x - 2 = 0$。
解$2x-(3 + d)=0$，得$x=\frac{3 + d}{2}$。
解$(3 + d)x - 2 = 0$，得$x=\frac{2}{3 + d}$。
因为两方程的解都是整数，且$d$为整数，所以$\frac{3 + d}{2}$与$\frac{2}{3 + d}$都是整数。
当$3 + d = 2$时，$d=-1$，此时$\frac{3 + d}{2}=1$，$\frac{2}{3 + d}=1$；
当$3 + d=-2$时，$d=-5$，此时$\frac{3 + d}{2}=-1$，$\frac{2}{3 + d}=-1$。
故整数$d$的值为$-1$或$-5$。
(3)$y=-3$
