1. 定义：若一个两位数 $ k $,满足 $ k = m ^ { 2 } + m n + n ^ { 2 } $($ m $,$ n $ 为正整数),则称该两位数 $ k $ 为“类完全平方数”,记 $ F ( k ) = m n $。例如：$ 39 = 2 ^ { 2 } + 2 × 5 + 5 ^ { 2 } $,则 $ 39 $ 是一个“类完全平方数”,且 $ F ( 39 ) = 2 × 5 = 10 $。若两位数 $ a $ 是一个“类完全平方数”,且 $ F ( a ) = \frac { a - 9 } { 3 } $,则 $ a $ 的最大值为______
93
。
答案：93 解析:因为两位数 $a$ 是一个“类完全平方数”，且 $F(a)=\frac{a - 9}{3}$，所以 $a - 9$ 是 3 的倍数，当 $a - 9 = 99$ 时，$a = 108$，不满足 $a$ 是两位数；当 $a - 9 = 96$ 时，$a = 105$，不满足 $a$ 是两位数；当 $a - 9 = 93$ 时，$a = 102$，不满足 $a$ 是两位数；当 $a - 9 = 90$ 时，$a = 99$，满足 $a$ 是两位数，因为 $F(99)=\frac{99 - 9}{3}=30 = 1×30 = 2×15 = 3×10 = 5×6$，又因为 $1^{2}+1×30 + 30^{2}=931$，$2^{2}+2×15 + 15^{2}=259$，$3^{2}+3×10 + 10^{2}=139$，$5^{2}+5×6 + 6^{2}=91$，所以 $a = 99$ 不符合题意；当 $a - 9 = 87$ 时，$a = 96$，满足 $a$ 是两位数，因为 $F(96)=\frac{96 - 9}{3}=29 = 1×29$，又因为 $1^{2}+1×29 + 29^{2}=871$，所以 $a = 96$ 不符合题意；当 $a - 9 = 84$ 时，$a = 93$，满足 $a$ 是两位数，因为 $F(93)=\frac{93 - 9}{3}=28 = 1×28 = 2×14 = 4×7$，又因为 $4^{2}+4×7 + 7^{2}=93$，所以 $a = 93$ 符合题意，所以 $a$ 的最大值为 93。
解析：
解：因为两位数$a$是“类完全平方数”，且$F(a)=\frac{a - 9}{3}$，所以$a - 9$是3的倍数。
两位数$a$最大为99，从大到小依次验证：
当$a = 99$时，$F(a)=\frac{99 - 9}{3}=30$，$mn = 30$，可能的$(m,n)$为$(1,30),(2,15),(3,10),(5,6)$。计算得$1^2 + 1×30 + 30^2 = 931$，$2^2 + 2×15 + 15^2 = 259$，$3^2 + 3×10 + 10^2 = 139$，$5^2 + 5×6 + 6^2 = 91$，均不等于99，不符合。
当$a = 96$时，$F(a)=\frac{96 - 9}{3}=29$，$mn = 29$，$(m,n)=(1,29)$，$1^2 + 1×29 + 29^2 = 871≠96$，不符合。
当$a = 93$时，$F(a)=\frac{93 - 9}{3}=28$，$mn = 28$，$(m,n)=(4,7)$时，$4^2 + 4×7 + 7^2 = 16 + 28 + 49 = 93$，符合题意。
故$a$的最大值为$93$。
答案：93
(1)$2\otimes 6=$
$-\frac{2009}{2}$
,$[-\pi]^{[\pi]}=$
$-64$
；
(2)求$1\otimes 2\otimes 3\otimes 4\cdots\otimes 2024\otimes 2025$的值；
依题意，$1\otimes 2\otimes 3\otimes 4\cdots\otimes 2024\otimes 2025 = 1 + 2 + 3+\cdots+2025 - 2024×\frac{2025}{2}=\frac{1 + 2025}{2}×2025-\frac{2024×2025}{2}=2025$。
(3)若有理数$m$,$n$满足$m = 2 [ n ] = 3 [ n + 1 ] $,请直接写出$m\otimes [ m + n ] $的结果。
$-\frac{2055}{2}$
答案：(1) $-\frac{2009}{2}$ $-64$
(2) 依题意，$1\otimes 2\otimes 3\otimes 4\cdots\otimes 2024\otimes 2025 = 1 + 2 + 3+\cdots+2025 - 2024×\frac{2025}{2}=\frac{1 + 2025}{2}×2025-\frac{2024×2025}{2}=2025$。
(3) $m\otimes [m + n]=-\frac{2055}{2}$ 解析:因为 $[n + 1]=[n]+1$，$2[n]=3[n + 1]$，所以 $2[n]=3[n]+3$，所以 $[n]=-3$，所以 $m = 2×(-3)=-6$，所以 $[m + n]=[-6 + n]=-9$，所以 $m\otimes [m + n]=(-6)\otimes (-9)=-6 - 9-\frac{2025}{2}=-\frac{2055}{2}$。
3. (2025·无锡期中)已知多项式 $ A = 3 x ^ { 2 } - b x + 6 $,$ B = 2 a x ^ { 2 } + 4 x - 1 $。
(1)若 $ ( a + 3 ) ^ { 2 } + | b - 2 | = 0 $,求代数式 $ 2 A + B $ 的值；
(2)若代数式 $ 2 A + B $ 的值与 $ x $ 无关,求 $ ( a + b ) ^ { 2024 } $ 的值。
答案：(1) 因为 $(a + 3)^{2}+|b - 2| = 0$，所以 $a + 3 = 0$，$b - 2 = 0$，所以 $a = -3$，$b = 2$，所以 $2A + B = 2(3x^{2}-2x + 6)+(-6x^{2}+4x - 1)=6x^{2}-4x + 12 - 6x^{2}+4x - 1 = 11$。
(2) $2A + B = 2(3x^{2}-bx + 6)+(2ax^{2}+4x - 1)=6x^{2}-2bx + 12 + 2ax^{2}+4x - 1=(6 + 2a)x^{2}+(-2b + 4)x + 11$，因为代数式的值与 $x$ 无关，所以 $6 + 2a = 0$，$-2b + 4 = 0$，所以 $a = -3$，$b = 2$，所以 $(a + b)^{2024}=(-3 + 2)^{2024}=(-1)^{2024}=1$。
4. (2024·镇江期中)若多项式 $ M $,$ N $ 满足：$ M + 2 N = 8 x y - 3 x - 4 y - 2 $,$ 2 M - N = x y - 6 x + 2 y + 11 $。我们可以通过添加括号求出多项式 $ M $,过程如下：
$ 5 M = ( M + 2 N ) + 2 ( 2 M - N ) $
$ = ( 8 x y - 3 x - 4 y - 2 ) + 2 ( x y - 6 x + 2 y + 11 ) $
$ = 10 x y - 15 x + 20 $
则 $ M = 2 x y - 3 x + 4 $
(1)请用类似的方法求出多项式 $ N $；
因为 $M + 2N = 8xy - 3x - 4y - 2$，$2M - N = xy - 6x + 2y + 11$，所以 $5N = 2(M + 2N)-(2M - N)=2(8xy - 3x - 4y - 2)-(xy - 6x + 2y + 11)=16xy - 6x - 8y - 4 - xy + 6x - 2y - 11 = 15xy - 10y - 15$，所以 $N = 3xy - 2y - 3$。
(2)当 $ x $,$ y $ 互为倒数,多项式 $ M $ 的值为 $ 0 $ 时,求此时多项式 $ N $ 的值；
因为 $x$，$y$ 互为倒数，所以 $xy = 1$。又因为 $M = 2xy - 3x + 4 = 0$，所以 $2 - 3x + 4 = 0$，所以 $x = 2$，则 $y=\frac{1}{2}$，所以 $N = 3xy - 2y - 3 = 3 - 2×\frac{1}{2}-3=-1$。
(3)当 $ y = $______时,无论字母 $ x $ 取何值,多项式 $ M $ 的值总比多项式 $ N $ 的值大 $ 1 $。
-3
答案：(1) 因为 $M + 2N = 8xy - 3x - 4y - 2$，$2M - N = xy - 6x + 2y + 11$，所以 $5N = 2(M + 2N)-(2M - N)=2(8xy - 3x - 4y - 2)-(xy - 6x + 2y + 11)=16xy - 6x - 8y - 4 - xy + 6x - 2y - 11 = 15xy - 10y - 15$，所以 $N = 3xy - 2y - 3$。
(2) 因为 $x$，$y$ 互为倒数，所以 $xy = 1$。又因为 $M = 2xy - 3x + 4 = 0$，所以 $2 - 3x + 4 = 0$，所以 $x = 2$，则 $y=\frac{1}{2}$，所以 $N = 3xy - 2y - 3 = 3 - 2×\frac{1}{2}-3=-1$。
(3) $-3$ 解析:$M - N=(2xy - 3x + 4)-(3xy - 2y - 3)=2xy - 3x + 4 - 3xy + 2y + 3=-xy - 3x + 2y + 7=-(3 + y)x + 2y + 7$，因为无论字母 $x$ 取何值，多项式 $M$ 的值总比多项式 $N$ 的值大 1，所以 $3 + y = 0$，解得 $y = -3$，此时 $-(3 + y)x + 2y + 7 = 0 + 2×(-3)+7 = 1$。
