8. 若$(m+2)x^{m^{2}}y^{2}$是关于x,y的六次单项式,则m的值为 (
C
)
A.5
B.$\pm 2$
C.2
D.-2
答案：C 解析：由题意可得$m^{2} = 4$，所以$m = \pm 2$，但当$m = -2$时，$m + 2 = 0$，不满足题意，故$m = 2$，故选C.
9. 按某种标准把多项式进行分类时,$3x^{3}-4和a^{2}b+ab^{2}+1$属于同一类,则下列也属于此类的多项式是 (
A
)
A.$abc-1$
B.$x^{2}-2$
C.$3x^{2}+2xy^{4}$
D.$m^{2}+2mn+n^{2}$
答案：A 解析：$3x^{3} - 4$和$a^{2}b + ab^{2} + 1$的项数不同，次数均为3，$abc - 1$次数与两者相同，故选A.
10. 新趋势 开放性试题 请写出一个只含有字母a的二次多项式,且无论a取何值时该二次多项式的值都大于2025,则这个二次多项式可以为
$a^{2} + 2026$
.
答案：$a^{2} + 2026$（答案不唯一）
11. 若一个整式具备以下三个条件:(1)它是一个关于字母x的二次三项式;(2)各项系数的和等于10;(3)它的二次项系数和常数项都比-2小1,则满足这些条件的一个整式为
$-3x^{2} + 16x - 3$
.
答案：$-3x^{2} + 16x - 3$
解析：
解：由条件(3)，二次项系数为$-2 - 1 = -3$，常数项为$-2 - 1 = -3$。
设一次项系数为$a$，则该整式为$-3x^{2} + ax - 3$。
由条件(2)，各项系数和为$-3 + a + (-3) = 10$，解得$a = 16$。
所以满足条件的整式为$-3x^{2} + 16x - 3$。
$-3x^{2} + 16x - 3$
12. (1)(绵阳中考)若多项式$xy^{|m-n|}+(n-2)\cdot x^{2}y^{2}+1$是关于x,y的三次多项式,则$mn= $
8或0
.
(2)已知多项式$-x^{2}y^{2m+1}+xy-6x^{3}-1$是五次四项式,且单项式$πx^{n}y^{4m-3}$与多项式的次数相同,则$m= $
1
,$n= $
4
.
答案：(1) 8或0 解析：因为多项式$xy^{|m - n|} + (n - 2)x^{2}y^{2} + 1$是关于$x$，$y$的三次多项式，所以$n - 2 = 0$，$1 + |m - n| = 3$，所以$n = 2$，$|m - n| = 2$，所以$m - n = 2$或$n - m = 2$，所以$m = 4$或$m = 0$，所以$mn = 8$或0.
(2) 1 4 解析：因为多项式$-x^{2}y^{2m + 1} + xy - 6x^{3} - 1$是五次四项式，所以$2 + 2m + 1 = 5$，解得$m = 1$. 又单项式$\pi x^{n}y^{4m - 3}$与该多项式的次数相同，所以$n + 4m - 3 = 5$，即$n + 4 - 3 = 5$，解得$n = 4$.
13. 已知关于x的整式$(|k|-3)x^{3}+(k-3)x^{2}-k$.
(1)若此整式是单项式,求k的值;
(2)若此整式是二次多项式,求k的值;
(3)若此整式是二项式,求k的值.
答案：(1) $|k| - 3 = 0$，且$k - 3 = 0$时，原式是单项式，得$k = 3$.
(2) $|k| - 3 = 0$，且$k - 3 \neq 0$时，原式是二次多项式，得$k = -3$.
(3) 三项系数分别为$|k| - 3$，$k - 3$和$-k$，若其中一个系数为0，另外两个系数不为0，则此整式是二项式，当$|k| - 3 = 0$，其他两个系数不为0时，得$k = -3$；当$k - 3 = 0$，其他两个系数不为0时，没有满足题意的值；当$-k = 0$，其他两个系数不为0时，得$k = 0$，所以$k = 0$或$-3$.
14. 观察下列单项式:$-x,3x^{2},-5x^{3},7x^{4},...,-37x^{19},39x^{20},...$,写出第n个单项式,为了解这个问题,提供下面的解题思路.
(1)这组单项式的系数依次为多少? 它们的绝对值的规律是什么?
(2)这组单项式的次数的规律是什么?
(3)根据上面的归纳,猜想出第n个单项式,用含n的代数式表示.
(4)请你根据猜想,写出第2024个与第2025个单项式.
答案：(1) 这组单项式的系数依次为$-1, 3, -5, 7, \cdots$，系数为奇数且奇数项的系数为负数，偶数项的系数为正数，故单项式的系数的符号可以是$(-1)^{n}$，第n个单项式的系数的绝对值为$2n - 1$.
(2) 这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数.
(3) 第n个单项式是$(-1)^{n} \cdot (2n - 1)x^{n}$.
(4) 第2024个单项式是$(-1)^{2024} \cdot (2 × 2024 - 1)x^{2024} = 4047x^{2024}$. 第2025个单项式是$(-1)^{2025} \cdot (2 × 2025 - 1)x^{2025} = -4049x^{2025}$.
15. (1)已知有理数a和b满足多项式A,且$A= (a-1)x^{5}+x^{|b+2|}-2x^{2}+bx+b(b≠-2)$是关于x的二次三项式,求$(a-b)^{2}$的值;
(2)已知m,n是自然数,a,b,c均不为0,若$a^{m-3}b^{2}c-\frac {1}{7}a^{2}b^{n-3}c^{4}+\frac {1}{12}a^{m+1}b^{n-1}c$是八次三项式(次数均为正整数),求m,n的值.
答案：(1) 有理数a和b满足多项式A，且$A = (a - 1)x^{5} + x^{|b + 2|} - 2x^{2} + bx + b(b \neq -2)$是关于x的二次三项式，当$a - 1 = 0$时，解得$a = 1$. ①当$|b + 2| = 2$时，解得$b = 0$或$-4$，当$b = 0$时，A不是二次三项式，当$b = -4$时，A是关于x的二次三项式；②当$|b + 2| = 1$时，解得$b = -1$或$b = -3$，当$b = -1$时，A不是二次三项式，当$b = -3$时，A是关于x的二次三项式；③当$|b + 2| = 0$时，解得$b = -2$（与题意不符，舍去）. 当$a - 1 = -1$且$|b + 2| = 5$，即$a = 0$，$b = 3$或$-7$时，此时A是关于x的二次三项式. 综上所述，当$a = 1$，$b = -4$时，$(a - b)^{2} = 25$；当$a = 1$，$b = -3$时，$(a - b)^{2} = 16$；当$a = 0$，$b = 3$时，$(a - b)^{2} = 9$；当$a = 0$，$b = -7$时，$(a - b)^{2} = 49$.
(2) 依题意，可得$a^{m - 3}b^{2}c$的次数为$m - 3 + 2 + 1 = m$，$-\frac{1}{7}a^{2}b^{n - 3}c^{4}$的次数为$2 + n - 3 + 4 = n + 3$，$\frac{1}{12}a^{m + 1}b^{n - 1}c$的次数为$m + 1 + n - 1 + 1 = m + n + 1$. 由题意，得m，n均为大于或等于3的数，且m，n为自然数，所以$m + n + 1 ＞ m$，$m + n + 1 ＞ n + 3$. 因为$a^{m - 3}b^{2}c - \frac{1}{7}a^{2}b^{n - 3}c^{4} + \frac{1}{12}a^{m + 1}b^{n - 1}c$是八次三项式，所以$m + n + 1 = 8$，所以$m = 3$，$n = 4$或$m = 4$，$n = 3$.
