8.随着服装市场竞争日益激烈,某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价a元后,再打7折,现售价为b元,则原售价为(
B
)
A.$(a + \frac{7b}{10})$元
B.$(a + \frac{10b}{7})$元
C.$(b + \frac{7a}{10})$元
D.$(b + \frac{10a}{7})$元
答案：B 解析：由题意可得，原售价为 $b÷0.7 + a = b×\frac{10}{7} + a = \left(a + \frac{10b}{7}\right)$ 元，故选 B。
9.某城市按以下规定收取每月的煤气费:用气不超过$60m^{3}$,按每立方米0.8元收费;如果超过$60m^{3}$,超过部分每立方米按1.2元收费.已知某户用煤气$x m^{3}(x ＞ 60)$,则该户应交煤气费
(1.2x - 24)
元.
答案：(1.2x - 24) 解析：因为超出 $60m^3$ 的煤气用量为 $(x - 60)m^3$，所以超出的费用是 $1.2(x - 60) = (1.2x - 72)$ 元，所以应交煤气费是 $1.2x - 72 + 60×0.8 = (1.2x - 24)$ 元。故答案为 $(1.2x - 24)$。
解析：
解：因为 $ x ＞ 60 $，所以煤气费分为两部分：
不超过 $ 60m^3 $ 的费用：$ 60×0.8 = 48 $ 元；
超过 $ 60m^3 $ 的部分为 $ (x - 60)m^3 $，费用：$ 1.2(x - 60) = 1.2x - 72 $ 元。
应交总煤气费：$ 48 + (1.2x - 72) = 1.2x - 24 $ 元。
故答案为 $ (1.2x - 24) $。
10.(1)观察一列数:$-\frac{1}{2},\frac{3}{4},-\frac{5}{6},\frac{7}{8},…$.按此规律,这一列数的第n个数是
$(-1)^n\cdot\frac{2n - 1}{2n}$
.
(2)如图,某链条每节长为2.8cm,每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm,按这种连接方式,50节链条总长度为
91
cm,n节链条总长度为
$(1.8n + 1)$
cm.
答案：(1) $(-1)^n\cdot\frac{2n - 1}{2n}$
(2) $91$ $(1.8n + 1)$ 解析：$1$ 节链条的长度是 $2.8cm$，之后每多 $1$ 节链条，链条总长变长 $2.8 - 1 = 1.8(cm)$，$1$ 节链条可视为 $1 + 1.8 = 2.8(cm)$，$2$ 节链条可视为 $1 + 1.8×2 = 4.6(cm)$，以此类推，故 $50$ 节链条总长度为 $1 + 1.8×50 = 91(cm)$，$n$ 节链条总长度为 $1 + 1.8× n = (1.8n + 1)cm$。
11.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为$m(m ＞ 0)$元的商品,都进行了两次价格下调,降价情况如表所示:
| |甲超市|乙超市|丙超市|
|第一次降价|20%|25%|30%|
|第二次降价|20%|15%|10%|
那么顾客到哪家超市购买这种商品最划算?请通过计算加以说明.
答案：降价后三家超市的售价：甲为 $(1 - 20\%)(1 - 20\%)m = 0.64m$（元），乙为 $(1 - 25\%)(1 - 15\%)m = 0.6375m$（元），丙为 $(1 - 30\%)(1 - 10\%)m = 0.63m$（元）。因为 $0.63m ＜ 0.6375m ＜ 0.64m$，所以顾客到丙超市购买这种商品最划算。
12.观察下列等式:
①$\frac{3}{2} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2}$;②$\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{10}$;③$\frac{3}{8} = \frac{1}{3} + \frac{1}{24}$;
④$\frac{3}{11} = \frac{1}{4} + \frac{1}{44}……$
根据上述等式的规律,解答下列问题:
(1)写出第5个等式:
$\frac{3}{14} = \frac{1}{5} + \frac{1}{70}$
;
(2)写出第n个等式(n为正整数):
$\frac{3}{3n - 1} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n(3n - 1)}$
(用含有n的式子表示);
(3)应用你发现的规律,计算:$\frac{3}{5} + \frac{3}{17} + \frac{3}{35} - \frac{1}{10} - \frac{1}{102} - \frac{1}{420} = $
$\frac{3}{4}$
.
答案：(1) $\frac{3}{14} = \frac{1}{5} + \frac{1}{70}$ (2) $\frac{1}{3n - 1} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n(3n - 1)}$
(3) $\frac{3}{4}$ 解析：$\frac{3}{5} + \frac{3}{17} + \frac{3}{35} - \frac{1}{10} - \frac{1}{102} - \frac{1}{420} = \frac{1}{2} + \frac{1}{10} + \frac{1}{6} + \frac{1}{102} + \frac{1}{12} + \frac{1}{420} - \frac{1}{10} - \frac{1}{102} - \frac{1}{420} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3}{4}$。
13.【问题背景】在$\triangle ABC$内部,有点$P_{1}$,可构成3个不重叠的小三角形(如图①).
【探究发现】当$\triangle ABC$内的点的个数增加时(见图①~③),探究三角形内互不重叠的小三角形的个数情况.
(1)填表:
|三角形内点的个数n|1|2|3|4|…|
|不重叠三角形的个数S|
3
|
5
|
7
|
9
|…|
(2)当$\triangle ABC$内部有n个点($P_{1},P_{2},…,P_{n}$)时,三角形内不重叠的小三角形的个数$S = 2025$,求n的值.
根据(1)的规律，当$\triangle ABC$内部有$n$个点（$P_1,P_2,\cdots,P_n$）时，可以把$\triangle ABC$分割成$S = 2n + 1$个互不重叠的三角形，当$S = 2025$时，$2n + 1 = 2025$，所以$n = 1012$。
答案：(1) $3$ $5$ $7$ $9$ 解析：如题图①中，当 $\triangle ABC$ 内只有 $1$ 个点时，可分割成 $3$ 个互不重叠的小三角形；题图②中，当 $\triangle ABC$ 内只有 $2$ 个点时，可分割成 $5$ 个互不重叠的小三角形；题图③中，当 $\triangle ABC$ 内只有 $3$ 个点时，可分割成 $7$ 个互不重叠的小三角形；同理得，当 $\triangle ABC$ 内只有 $4$ 个点时，可分割成 $9$ 个互不重叠的小三角形。故答案为 $3,5,7,9$。
(2) 根据 (1) 的规律，当 $\triangle ABC$ 内部有 $n$ 个点 ($P_1,P_2,\cdots,P_n$) 时，可以把 $\triangle ABC$ 分割成 $S = 2n + 1$ 个互不重叠的三角形，当 $S = 2025$ 时，$2n + 1 = 2025$，所以 $n = 1012$。
