2025年学霸题中题七年级数学上册苏科版第179页解析答案

1. (2025·泰州期末)如图①,在同一条直线上依次有A,O,B三点,$∠BOC= 40^{\circ }$,将一个三角板的直角顶点放在点O处,其中$∠DOE= 90^{\circ },∠EDO= 60^{\circ }.$
(1)将三角板DOE绕点O旋转到图②的位置,OD在$∠BOC$的内部,$∠EOC,∠BOD$有怎样的数量关系?请写出来,并说明理由.
(2)若将三角板DOE绕点O转动,直角三角板DOE所有部分始终保持在直线AB上或上方.若$∠COD= \frac {1}{5}∠AOE$,求$∠BOD$的度数.
(3)若将图①中的三角板绕点O以每秒$5^{\circ }$的速度沿顺时针方向旋转一周,在旋转的过程中,射线OE,OC,OB中的一条射线,是否可以成为另两条射线组成的夹角的平分线?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

答案：
1. (1) $\angle EOC - \angle BOD = 50^{\circ}$. 理由如下: 设 $\angle BOD = n^{\circ}$, 因为 $\angle BOC = 40^{\circ}$, 所以 $\angle COD = 40^{\circ} - n^{\circ}$. 因为 $\angle DOE = 90^{\circ}$, 所以 $\angle COE = \angle DOE - \angle DOC = 90^{\circ} - 40^{\circ} + n^{\circ} = 50^{\circ} + n^{\circ}$, 所以 $\angle EOC - \angle BOD = 50^{\circ} + n^{\circ} - n^{\circ} = 50^{\circ}$.
(2) 如图①, 当 $OD$ 在 $OC$ 的右边时, 设 $\angle BOD = n^{\circ}$, 因为 $\angle BOC = 40^{\circ}$, 所以 $\angle COD = 40^{\circ} - n^{\circ}$, $\angle AOE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - n^{\circ} = 90^{\circ} - n^{\circ}$. 因为 $\angle COD = \frac{1}{5}\angle AOE$, 所以 $40 - n = \frac{1}{5}(90 - n)$, 解得 $n = 27.5$, 即 $\angle BOD = 27.5^{\circ}$.
　　

如图②, 当 $OD$ 在 $OC$ 的左边时, 则 $\angle COD = n^{\circ} - 40^{\circ}$, $\angle AOE = 90^{\circ} - n^{\circ}$, 因为 $\angle COD = \frac{1}{5}\angle AOE$, 所以 $n - 40 = \frac{1}{5}(90 - n)$, 解得 $n = \frac{145}{3}$, 即 $\angle BOD = (\frac{145}{3})^{\circ}$. 综上, $\angle BOD = 27.5^{\circ}$ 或 $(\frac{145}{3})^{\circ}$.
(3) 存在, $t$ 的值为 2 或 14 或 26. 解析: 如图③, 当 $OC$ 平分 $\angle BOE$ 时, 则 $\angle COE = \angle COB$, 因为 $\angle EOE' = \angle DOD' = 5t^{\circ}$, 所以 $\angle COE = \angle BOE' - \angle BOC - \angle EOE' = 50^{\circ} - 5t^{\circ}$, 所以 $50 - 5t = 40$, 解得 $t = 2$;
　　　

如图④, 当 $OE$ 平分 $\angle BOC$ 时, 则 $\angle COE = \angle EOB = \frac{1}{2}\angle BOC = 20^{\circ}$, 同理可得 $\angle BOE = 90^{\circ} - 5t^{\circ}$, 所以 $90 - 5t = 20$, 解得 $t = 14$;
如图⑤, 当 $OB$ 平分 $\angle EOC$ 时, 则 $\angle COB = \angle EOB = 40^{\circ}$, 同理可得 $\angle BOE = 5t^{\circ} - 90^{\circ}$, 所以 $5t - 90 = 40$, 解得 $t = 26$.
综上: 当 $t$ 的值为 2 或 14 或 26 时, 射线 $OE, OC, OB$ 中的一条射线, 可以成为另两条射线组成的夹角的平分线.
　　　　　　　　　

2. 新考法 (2024·镇江期末)游乐园的摩天轮深受学生们的喜爱,如图是某游乐园的摩天轮的平面示意图,16个座舱均匀分布在圆形转轮边缘,摩天轮以固定的速度绕中心逆时针方向转动,转一周需要30min.座舱与圆形转轮边缘的连接点按顺时针依次标注为$M_{i}(i= 1,2... ... 16),△AOB$表示的是摩天轮的支架,且$∠AOB= 60^{\circ }.$

(1)摩天轮每分钟转动____$^{\circ },∠M_{1}OM_{3}= $____$^{\circ }.$
(2)如图,在某一时刻,连接点$M_{1}转动到∠AOB$的内部,此时$∠AOM_{1}= 18^{\circ }$,以此时刻为初始时刻.
①求此时的$∠BOM_{3}$的度数.
②求当$OM_{3}$第一次平分$∠AOB$时,摩天轮的转动时间以及此时$∠AOM_{1}$的度数.
③设摩天轮转动的时间为$t(min)$,在连接点$M_{1}$第一次到达最高处前,是否存在$∠BOM_{3}= 2∠AOM_{1}$的时刻?若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由.
[答案]：2. (1)

解析: 摩天轮每分钟转动的角度是 $360^{\circ} ÷ 30 = 12^{\circ}$, $\angle M_{1}OM_{3} = \frac{2}{16} × 360^{\circ} = 45^{\circ}$.
(2) ① 因为 $\angle AOB = 60^{\circ}$, $\angle AOM_{1} = 18^{\circ}$, 所以 $\angle BOM_{1} = \angle AOB - \angle AOM_{1} = 60^{\circ} - 18^{\circ} = 42^{\circ}$. 又因为 $\angle M_{1}OM_{3} = 45^{\circ}$, 所以 $\angle BOM_{3} = \angle M_{1}OM_{3} - \angle BOM_{1} = 45^{\circ} - 42^{\circ} = 3^{\circ}$.
② 作 $\angle AOB$ 的平分线 $OC$ 交 $AB$ 于点 $C$, 则 $\angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} × 60^{\circ} = 30^{\circ}$, $OM_{3}$ 第一次平分 $\angle AOB$ 时, $OM_{3}$ 转动了 $30^{\circ} + 3^{\circ} = 33^{\circ}$, 所以转动时间为 $\frac{33}{12} = \frac{11}{4}(\mathrm{~min})$, $OM_{1}$ 转动的角度也是 $33^{\circ}$, 所以此时 $\angle AOM_{1} = 33^{\circ} - 18^{\circ} = 15^{\circ}$.
③ 存在, $t$ 的值为

$\frac{11}{4}$

或

$\frac{13}{12}$

. 理由如下:
因为 $OC$ 是 $\angle AOB$ 的平分线, 所以 $\angle AOC = \angle BOC = 30^{\circ}$. 初始时刻, $\angle COM_{1} = \angle AOC - \angle AOM_{1} = 30^{\circ} - 18^{\circ} = 12^{\circ}$, 当点 $M_{1}$ 第一次到达最高处时, 时间为 $\frac{180 - 12}{12} = 14(\mathrm{~min})$, 所以 $0 ＜ t ＜ 14$ 或 $t = 0$ 或 $t = 14$. 根据题意得 $\angle BOM_{3} = |3 - \angle BOM_{3} = |3 - 12t|^{\circ}$, $\angle AOM_{1} = |18 - 12t|^{\circ}$, $\angle AOM_{1} = |18 - 12t|^{\circ}$, 因为 $\angle BOM_{3} = 2 \angle AOM_{1}$, 即 $|3 - 12t| = 2|18 - 12t|$, 解得 $t = \frac{11}{4}$ 或 $\frac{13}{12}$, 所以存在, $t$ 的值为 $\frac{11}{4}$ 或 $\frac{13}{12}$.
易错提醒
① 注意射线旋转的起始位置, 并留意旋转的方向和速度; ② 注意运动的时间有没有范围限制, 先明确运动的时间范围, 当超出范围时要舍去答案; ③ 注意分类讨论, 找出所有的可能; ④ 当表示的角度不能确定时考虑使用绝对值, 再利用绝对值进行分类计算.

答案：2. (1) 12 45 解析: 摩天轮每分钟转动的角度是 $360^{\circ} ÷ 30 = 12^{\circ}$, $\angle M_{1}OM_{3} = \frac{2}{16} × 360^{\circ} = 45^{\circ}$.
(2) ① 因为 $\angle AOB = 60^{\circ}$, $\angle AOM_{1} = 18^{\circ}$, 所以 $\angle BOM_{1} = \angle AOB - \angle AOM_{1} = 60^{\circ} - 18^{\circ} = 42^{\circ}$. 又因为 $\angle M_{1}OM_{3} = 45^{\circ}$, 所以 $\angle BOM_{3} = \angle M_{1}OM_{3} - \angle BOM_{1} = 45^{\circ} - 42^{\circ} = 3^{\circ}$.
② 作 $\angle AOB$ 的平分线 $OC$ 交 $AB$ 于点 $C$, 则 $\angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} × 60^{\circ} = 30^{\circ}$, $OM_{3}$ 第一次平分 $\angle AOB$ 时, $OM_{3}$ 转动了 $30^{\circ} + 3^{\circ} = 33^{\circ}$, 所以转动时间为 $\frac{33}{12} = \frac{11}{4}(\mathrm{~min})$, $OM_{1}$ 转动的角度也是 $33^{\circ}$, 所以此时 $\angle AOM_{1} = 33^{\circ} - 18^{\circ} = 15^{\circ}$.
③ 存在, $t$ 的值为 $\frac{11}{4}$ 或 $\frac{13}{12}$. 理由如下:
因为 $OC$ 是 $\angle AOB$ 的平分线, 所以 $\angle AOC = \angle BOC = 30^{\circ}$. 初始时刻, $\angle COM_{1} = \angle AOC - \angle AOM_{1} = 30^{\circ} - 18^{\circ} = 12^{\circ}$, 当点 $M_{1}$ 第一次到达最高处时, 时间为 $\frac{180 - 12}{12} = 14(\mathrm{~min})$, 所以 $0 ＜ t ＜ 14$ 或 $t = 0$ 或 $t = 14$. 根据题意得 $\angle BOM_{3} = |3 - 12t|^{\circ}$, $\angle AOM_{1} = |18 - 12t|^{\circ}$, 因为 $\angle BOM_{3} = 2 \angle AOM_{1}$, 即 $|3 - 12t| = 2|18 - 12t|$, 解得 $t = \frac{11}{4}$ 或 $\frac{13}{12}$, 所以存在, $t$ 的值为 $\frac{11}{4}$ 或 $\frac{13}{12}$.
易错提醒
① 注意射线旋转的起始位置, 并留意旋转的方向和速度; ② 注意运动的时间有没有范围限制, 先明确运动的时间范围, 当超出范围时要舍去答案; ③ 注意分类讨论, 找出所有的可能; ④ 当表示的角度不能确定时考虑使用绝对值, 再利用绝对值进行分类计算.