5. (2024·无锡期末)如图,已知 $ M,N $ 两点在数轴上所表示的数分别为 $ m $ 和 $ n $,其中 $ m $ 表示的数为 $ 10 $,$ n $ 表示的数为 $ -2 $.有一个玩具火车 $ AB $ 放置在数轴上,将火车沿数轴左右水平移动,当点 $ A $ 移动到点 $ B $ 的起始位置时,点 $ B $ 与点 $ M $ 重合,当点 $ B $ 移动到点 $ A $ 的起始位置时,点 $ A $ 与点 $ N $ 重合,则玩具火车的长为
4
个单位长度;将此玩具火车沿数轴左右水平移动,当 $ NA:BM = 3:1 $ 时,点 $ A $ 所表示的数为
4或10
.
答案：4；4或10 解析:依题意得AB=$\frac{1}{3}$NM=$\frac{1}{3}$×[10−(−2)]=$\frac{1}{3}$×12=4,所以玩具火车的长为4个单位长度.设点A所表示的数为x,则点B所表示的数为(x + 4),因为点B在点A的右侧,当NA:BM=3:1时可知,AN＞BM,所以A,B两点只能在点N的右侧,所以AB只能向右运动,即x＞−2,所以AN=x−(−2)=x + 2,BM=|x + 4−10|=|x−6|,当NA:BM=3:1时,即x + 2=3|x−6|,解得x = 4或10,所以当NA:BM=3:1时,点A所表示的数为4或10.
解析：
玩具火车的长为4个单位长度；点A所表示的数为4或10。
解：
1. 求玩具火车长度
由题意知，NM的距离为$10 - (-2) = 12$。
当火车移动时，$3AB = NM$，故$AB = \frac{1}{3} × 12 = 4$。
2. 求点A表示的数
设点A表示的数为$x$，则点B表示的数为$x + 4$。
$NA = x - (-2) = x + 2$，$BM = |(x + 4) - 10| = |x - 6|$。
由$NA:BM = 3:1$得$x + 2 = 3|x - 6|$。
当$x \geq 6$时，$x + 2 = 3(x - 6)$，解得$x = 10$；
当$x ＜ 6$时，$x + 2 = 3(6 - x)$，解得$x = 4$。
综上，$x = 4$或$10$。
答案：4；4或10。
6. (2024·苏州期末)如图①,已知数轴上点 $ O $ 表示原点,点 $ M $ 表示的数为 $ 12 $.动点 $ A $ 从原点出发,以每秒 $ 1 $ 个单位长度的速度沿数轴向右运动,到点 $ M $ 停止运动;动点 $ E $ 从点 $ M $ 出发,以每秒 $ 2 $ 个单位长度的速度沿数轴先运动到点 $ O $ 后立即以原速返回 $ M $,点 $ A $ 和点 $ E $ 同时出发,同时停止.设运动的时间为 $ t \text{ s} $.
(1)点 $ A $ 在数轴上表示的数为____,点 $ E $ 在数轴上表示的数为____(用含 $ t $ 的代数式表示);
(2)如图②,数轴上从左到右依次是点 $ A,B,E,F $,线段 $ AB = 2,EF = 4 $,在数轴上方作正方形 $ ABCD $ 与正方形 $ EFGH $,两个正方形随点 $ A $ 和点 $ E $ 运动,若两个正方形同时出发,求 $ t $ 为何值时,两个正方形的重叠部分面积为 $ 2 $?
(1)
$t$
$\left\{\begin{array}{l} 12 - 2t(0 ＜ t ＜ 6或t = 0或t = 6),\\ 2t - 12(6 ＜ t ＜ 12或t = 12)\end{array}\right.$
(2)
当$t=\frac{11}{3}$或$t = 5$或$t = 9$时，两个正方形的重叠部分面积为$2$。
答案：(1)$t\left\{\begin{array}{l} 12 - 2t(0 ＜ t ＜ 6或t = 0或t = 6),\\ 2t - 12(6 ＜ t ＜ 12或t = 12)\end{array}\right.$ 解析:因为动点A从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动的时间为ts,所以点A表示的数为t;在折返前，点E从点M出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴先运动到点O后立即以原速返回M,所以EM=2t,所以OE=OM−EM=12−2t.当到达点O时,t = 6.故在折返后,OE=2(t−6)=2t−12.当t = 12时,点E回到点M.故点E在数轴上表示的数为$\left\{\begin{array}{l} 12 - 2t(0 ＜ t ＜ 6或t = 0或t = 6),\\ 2t - 12(6 ＜ t ＜ 12或t = 12)\end{array}\right.$
(2)由(1)得OA=t,OM=12.
①当点E还没有折返时,存在两种情况:
a:此时EM=2t,因为两个正方形的重叠部分面积为2,且AB=2,EF=4,所以S=BC·BE=2BE=2,解得BE=1,所以AE=1.因为OA+AE+ME=OM,所以t+1+2t=12,解得t=$\frac{11}{3}$;
b:此时EM=2t,AD·AF=2,所以2AF=2,解得AF=1,所以AE=EF−AF=3,所以OA+EM−AE=OM,所以t+2t−3=12,解得t=5.
②点E折返后,存在两种情况:
a:OA=t,OE=2t−12,此时AD·AF=2,所以2AF=2,解得AF=1,所以AE=EF−AF=3,所以OE+AE=OA,所以2t−12+3=t,解得t=9;
b:OA=t,OE=2t−12,此时BC·BE=2,所以BE=1,所以OA=OE−AE,所以t=2t−12−1,解得t=13(舍去).
综上所述,当t=$\frac{11}{3}$或t = 5或t = 9时,两个正方形的重叠部分面积为2.
