1. (2025·南通期末)中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题,大意是现有一根竿子和一条绳索,用绳索去量竿子,绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子,绳索就比竿子短5尺,问绳索、竿子各有多长?甲、乙两人所列方程如下,下列选项判断正确的是 (
C
)
甲：设竿子长为x尺,根据题意可列方程为$x-\frac {x+5}{2}= 5;$
乙：设绳索长为x尺,根据题意可列方程为$(x-5)-\frac {x}{2}= 5$
A.甲对乙错
B.甲错乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都错
答案：C 解析:设竿子长为$x$尺,则绳子长$(x + 5)$尺,根据“将绳索对折去量竿子,绳索就比竿子短5尺”可列方程为$x - \frac{x + 5}{2} = 5$;设绳索长为$x$尺,则杆子长$(x - 5)$尺,根据“将绳索对折去量竿子,绳索就比竿子短5尺”可列方程为$(x - 5) - \frac{x}{2} = 5$.故甲,乙两人所列方程都对,故选C.
2. (2025·南京期末)某商品的进价为200元,按标价的8折出售,仍可获利20%,则该商品的标价是 (
D
)
A.240元
B.260元
C.280元
D.300元
答案：D 解析:设该商品的标价为$x$元,则售价为$0.8x$元,根据题意得$0.8x - 200 = 200×20\%$,解得$x = 300$,即标价为300元.故选D.
3. (2025·扬州期末)如图,钟表的秒针因故障停滞不动,时针与分针正常运行.小晶发现3点整时,秒针正好是时针与分针夹角的平分线,经过m min后,秒针又一次成为时针与分针夹角的平分线,则m的最小值是____.
答案：$\frac{720}{13}$ 解析:如图,因为3点整时,秒针正好是时针与分针夹角的平分线,分针在秒针的左侧,秒针不动,所以当分针转一圈再回到秒针左侧时,秒针再次平分时针与分针夹角,此时经过的时间最少,分针每分钟走$\frac{360^{\circ}}{60} = 6^{\circ}$,时针每分钟走$\frac{30^{\circ}}{60} = (\frac{1}{2})^{\circ}$,根据题意得$∠AOB = ∠BOC = 45^{\circ}$,经过$m$ min后,$∠AOA_1 = 360^{\circ} - 6^{\circ}×m$,$∠COC_1 = (\frac{1}{2})^{\circ}×m$,因为$OB$平分$∠A_1OC_1$,所以$∠A_1OB = ∠BOC_1$,所以$∠A_1OA + ∠AOB = ∠BOC + ∠C_1OC$,所以$360 - 6m + 45 = 45 + \frac{1}{2}m$,解得$m = \frac{720}{13}$.
4. (2025·南京期末)甲、乙两地相距600 km,一辆客车从甲地开往乙地,速度为60 km/h,一辆出租车从乙地开往甲地,速度为100 km/h,两车同时出发,到达各自目的地后停止行驶.设客车行驶时间为t h.
(1)出发多长时间两车相遇?
(2)分别写出$t= 3,t= 5和t= 8$时两车的距离.
(3)甲、乙两地之间有A,B两个加油站,相距200 km,若客车进入A站加油时,出租车恰好进入B站加油.求A加油站到甲地的距离.
答案：(1) 根据题意得$60t + 100t = 600$,解得$t = \frac{15}{4}$,所以出发$\frac{15}{4}$ h两车相遇.
(2) 当$t = 3$时,两车相距$600 - 3×(60 + 100) = 120(km)$,当$t = 5$时,两车相距$5×(60 + 100) - 600 = 200(km)$,当$t = 8$时,乙车已经到达目的地,此时两车相距$8×60 = 480(km)$.
(3) 设A加油站到甲地的距离为$x$ km,当A加油站比B加油站更靠近甲地时,$\frac{x}{60} = \frac{600 - 200 - x}{100}$,解得$x = 150$,当A加油站比B加油站更靠近乙地时,$\frac{x}{60} = \frac{600 - x + 200}{100}$,解得$x = 300$,所以A加油站到甲地的距离为150 km或300 km.
5. (2025·宿迁期末)泗洲商场经销甲、乙两种商品,平时甲种商品每件售价80元,每件的利润为30元；乙种商品每件进价40元,售价60元.在“元旦”期间,同时对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：①购物总金额不超过300元的不优惠；②购物总金额超过300元,但不超过500元的打九折；③购物总金额超过500元的打八折.
(1)甲种商品每件的进价为
50
元,若活动期间一次性购物总金额是400元,实际应付
360
元.
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件,总进价用去2 600元,求商场在平时可以盈利多少元?
设该商场购进$x$件甲种商品,则购进$(60 - x)$件乙种商品,根据题意得$50x + 40(60 - x) = 2600$,解得$x = 20$,所以$30x + (60 - 40)(60 - x) = 30×20 + (60 - 40)×(60 - 20) = 1400$(元).
答:商场在平时可以盈利1400元.
(3)按“元旦”期间优惠条件,小明一次性购买了乙种商品,实际付款是432元,求商场实际利润是多少元?
设小明一次性购买了$y$件乙种商品,根据题意得$0.9×60y = 432$或$0.8×60y = 432$,解得$y = 8$或$y = 9$.当$y = 8$时,$432 - 40y = 432 - 40×8 = 112$(元);当$y = 9$时,$432 - 40y = 432 - 40×9 = 72$(元).
答:商场实际利润是72元或112元.
答案：(1) 50 360
(2) 设该商场购进$x$件甲种商品,则购进$(60 - x)$件乙种商品,根据题意得$50x + 40(60 - x) = 2600$,解得$x = 20$,所以$30x + (60 - 40)(60 - x) = 30×20 + (60 - 40)×(60 - 20) = 1400$(元).
答:商场在平时可以盈利1400元.
(3) 设小明一次性购买了$y$件乙种商品,根据题意得$0.9×60y = 432$或$0.8×60y = 432$,解得$y = 8$或$y = 9$.当$y = 8$时,$432 - 40y = 432 - 40×8 = 112$(元);当$y = 9$时,$432 - 40y = 432 - 40×9 = 72$(元).
答:商场实际利润是72元或112元.
