2025年学霸题中题七年级数学上册苏科版第163页解析答案

1. 如图,$\angle AOB = 90^{\circ}$,$\angle COD = 60^{\circ}$。
(1) 若$OC平分\angle AOD$,求$\angle BOC$的度数；
(2) 若$\angle BOC = \frac{1}{14}\angle AOD$,求$\angle AOD$的度数；
(3) 若射线$OP从射线OB$的位置开始,绕点$O按逆时针方向以每秒12^{\circ}$的速度旋转,同时射线$OQ从射线OA$的位置开始,绕点$O按顺时针方向以每秒9^{\circ}$的速度旋转,设射线$OP旋转的时间为t$(单位：秒),且$0 ＜ t ＜ 7.5$,求当$\angle QOP = \frac{1}{2}\angle AOP时t$的值。

答案：
1.(1)因为OC平分∠AOD,所以∠COD=∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOD.因为∠COD = 60°,所以∠AOC = 60°,所以∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 90° - 60° = 30°.
(2)设∠AOD = x,则∠BOC = $\frac{1}{14}$x,因为∠AOD = ∠AOB + ∠BOD,∠BOD = ∠COD - ∠BOC,所以∠AOD = ∠AOB + ∠COD - ∠BOC.因为∠AOB = 90°,∠COD = 60°,所以∠AOD = 150° - ∠BOC,所以x = 150° - $\frac{1}{14}$x,解得x = 140°,所以∠AOD的度数为140°.
(3)当射线OP与射线OQ未相遇之前，如图①,由题意得∠AOQ = 9°t,∠BOP = 12°t,所以∠AOP = 90° - ∠BOP = 90° - 12°t,∠QOP = 90° - ∠AOQ - ∠BOP = 90° - 21°t.因为∠QOP = $\frac{1}{2}$∠AOP,所以90° - 21°t = $\frac{1}{2}$(90° - 12°t),解得t = 3;
　　　　　　

当射线OP与射线OQ相遇后且均在∠AOB内部时，如图②,由题意得∠AOQ = 9°t,∠BOP = 12°t,所以∠AOP = 90° - ∠BOP = 90° - 12°t,∠QOP = ∠BOP - ∠BOQ = ∠BOP - (90° - ∠AOQ) = 21°t - 90°.因为∠QOP = $\frac{1}{2}$∠AOP,所以21°t - 90° = $\frac{1}{2}$(90° - 12°t),解得t = 5.
综上所述,当∠QOP = $\frac{1}{2}$∠AOP时,t = 3或5.

2. 如图①,$A$,$O$,$B$三点在一条直线上,且$\angle AOC = 24^{\circ}$,$\angle BOD = 78^{\circ}$,射线$OM$,$ON分别平分\angle AOD和\angle BOD$。如图②,将射线$OA以每秒8^{\circ}的速度绕点O$逆时针旋转一周,同时将$\angle COD以每秒6^{\circ}的速度绕点O$逆时针旋转,当射线$OC与射线OB$重合时,$\angle COD$停止运动。设射线$OA的运动时间为t$秒。
(1) 运动开始前,如图①,$\angle DON = $

$^{\circ}$,$\angle AOM = $

$^{\circ}$。
(2) 旋转过程中,当$t$为何值时,射线$OD平分\angle BOM$？

因为射线OA以每秒8°的速度绕点O逆时针旋转一周,同时将∠COD以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转，所以∠AOD = 180° - 78° + 6°t - 8°t = 102° - 2°t.因为射线OM平分∠AOD,所以∠DOM = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$(102° - 2°t).因为∠BOD = 78° - 6°t,所以$\frac{1}{2}$(102° - 2°t) = 78° - 6°t,所以t = 5.4.

(3) 旋转过程中,是否存在某一时刻使得$\angle MON = 42^{\circ}$？若存在,请求出$t$的值；若不存在,请说明理由。

存在某一时刻使得∠MON = 42°,分以下几种情况:情况一:若ON在OB上方,此时∠DOM + ∠DON = 42°,即$\frac{1}{2}$(102° - 2°t) + $\frac{1}{2}$(78° - 6°t) = 42°,解得t = 12;
情况二:若ON在OB下方,此时∠DOM - ∠DON = 42°,即$\frac{1}{2}$(102° - 2°t) - $\frac{1}{2}$(6°t - 78°) = 42°,解得t = 12(不符合题意,舍去);
情况三:当∠COD停止运动时，OA继续旋转，当OA旋转264°时,有∠MON = 42°,此时t = $\frac{264}{8}$ = 33.综上所述，符合条件的t的值为12 或33.

答案：2.(1)39　51　解析:因为A,0,B三点在一条直线上,∠AOC = 24°,所以∠AOD = 180° - ∠BOD = 180° - 78° = 102°.因为OM,ON分别平分∠AOD和∠BOD,∠BOD = 78°,所以∠DON = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$×78° = 39°,∠AOM = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×102° = 51°.故答案为39;51.
(2)因为射线OA以每秒8°的速度绕点O逆时针旋转一周,同时将∠COD以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转，所以∠AOD = 180° - 78° + 6°t - 8°t = 102° - 2°t.因为射线OM平分∠AOD,所以∠DOM = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$(102° - 2°t).因为∠BOD = 78° - 6°t,所以$\frac{1}{2}$(102° - 2°t) = 78° - 6°t,所以t = 5.4.
(3)存在某一时刻使得∠MON = 42°,分以下几种情况:情况一:若ON在OB上方,此时∠DOM + ∠DON = 42°,即$\frac{1}{2}$(102° - 2°t) + $\frac{1}{2}$(78° - 6°t) = 42°,解得t = 12;
情况二:若ON在OB下方,此时∠DOM - ∠DON = 42°,即$\frac{1}{2}$(102° - 2°t) - $\frac{1}{2}$(6°t - 78°) = 42°,解得t = 12(不符合题意,舍去);
情况三:当∠COD停止运动时，OA继续旋转，当OA旋转264°时,有∠MON = 42°,此时t = $\frac{264}{8}$ = 33.综上所述，符合条件的t的值为12 或33.