答案：
70 解析:如图,记 AE 与 CD 的交点为 F.因为 $ AB // CD $,所以 $ \angle A + \angle AFD = 180^\circ $.因为 $ \angle A = 110^\circ $,所以 $ \angle AFD = 70^\circ $,所以 $ \angle CFE = \angle AFD = 70^\circ $.因为 $ \angle CEF = 40^\circ $,所以 $ \angle C = 180^\circ - \angle CEF - \angle CFE = 180^\circ - 40^\circ - 70^\circ = 70^\circ $.一题多解如图,过点 E 作 $ EG // AB $,因为 $ AB // CD $, $ EG // AB $,所以 $ CD // EG $,所以 $ \angle GEA = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ $,所以 $ \angle CEG = \angle CEA + \angle GEA = 40^\circ + 70^\circ = 110^\circ $,所以 $ \angle C = 180^\circ - \angle CEG = 70^\circ $.

答案：
$ 40^\circ $或 $ 140^\circ $ 解析:①当 $ \angle EAB $ 为锐角时,如图①所示,过点 E 作 $ EF // AB $,过点 P 作 $ PQ // AB $,因为 $ AB // CD $,所以 $ AB // CD // EF // PQ $.因为 $ EF // AB $, $ EF // CD $,所以 $ \angle EAB + \angle AEC + \angle CEF = 180^\circ $, $ \angle CEF + \angle ECD = 180^\circ $,所以 $ \angle EAB + \angle AEC = \angle ECD $,即 $ \angle ECD - \angle EAB = \angle AEC = 80^\circ $.因为 $ PQ // AB $, $ PQ // CD $,所以 $ \angle PAB + \angle APC + \angle CPQ = 180^\circ $, $ \angle CPQ + \angle PCD = 180^\circ $,所以 $ \angle PAB + \angle APC = \angle PCD $,即 $ \angle PCD - \angle PAB = \angle APC $.又因为点 P 为 $ \angle EAB $ 和 $ \angle ECD $ 的平分线所在的直线的交点,所以 $ \angle PAB = \frac{1}{2} \angle EAB $, $ \angle PCD = \frac{1}{2} \angle ECD $,所以 $ \angle APC = \angle PCD - \angle PAB = \frac{1}{2} \angle ECD - \frac{1}{2} \angle EAB = \frac{1}{2} \angle AEC = 40^\circ $.②当 $ \angle EAB $ 为钝角时,如图②所示,过点 E 作 $ EF // AB $,过点 P 作 $ HQ // AB $,因为 $ AB // CD $,所以 $ AB // CD // EF // PQ $.因为 $ EF // AB $, $ EF // CD $,所以 $ \angle BAE + \angle AEF = 180^\circ $, $ \angle DCE + \angle CEF = 180^\circ $,所以 $ \angle BAE + \angle AEF + \angle DCE + \angle CEF = 360^\circ $.因为 $ \angle AEC = \angle AEF + \angle CEF = 80^\circ $,所以 $ \angle BAE + \angle DCE = 280^\circ $.因为 $ PQ // AB $, $ PQ // CD $,所以 $ \angle DCP = \angle HPC $, $ \angle BAP = \angle HPA $.又因为点 P 为 $ \angle EAB $ 和 $ \angle ECD $ 的平分线所在的直线的交点,所以 $ \angle BAP = \frac{1}{2} \angle BAE $, $ \angle DCP = \frac{1}{2} \angle DCE $,所以 $ \angle BAP + \angle DCP = \frac{1}{2} ( \angle BAE + \angle DCE ) = 140^\circ $,所以 $ \angle APC = \angle HPC + \angle HPA = 140^\circ $.综上所述, $ \angle APC = 40^\circ $ 或 $ 140^\circ $.

答案：
(1) 过点 E 作 $ EF // AB $,如图①,所以 $ AB // EF // CD $,所以 $ \angle A + \angle AEF = 180^\circ $, $ \angle C + \angle CEF = 180^\circ $.因为 $ \angle A = 160^\circ $, $ \angle C = 135^\circ $,所以 $ \angle AEF = 180^\circ - \angle A = 20^\circ $, $ \angle CEF = 180^\circ - \angle C = 45^\circ $. 所以 $ \angle AEC = \angle AEF + \angle CEF = 20^\circ + 45^\circ = 65^\circ $.(2) $ \angle C = \angle AEC + \angle A $.理由如下:延长 DC 交 AE 于点 F,如图②,因为 $ AB // CD $,所以 $ \angle CFE = \angle A $.因为 $ \angle DCE = 180^\circ - \angle ECF = 180^\circ - ( 180^\circ - \angle AEC - \angle CFE ) = \angle AEC + \angle CFE $,所以 $ \angle DCE = \angle AEC + \angle A $.(3) 如图③,由条件可得 $ \angle DMF = 180^\circ - \angle FMC = 180^\circ - ( 180^\circ - \angle FCD - \angle F ) = \angle FCD + \angle F $.因为 $ AB // CD $,所以 $ \angle BAF = \angle DMF = \angle FCD + \angle F $.因为 AF 平分 $ \angle BAE $,所以 $ \angle BAE = 2 \angle BAF = 2 \angle FCD + 2 \angle F $.由(2) 可得 $ \angle DCE = \angle BAE + \angle E $,因为 $ \angle FCD = \frac{1}{6} \angle ECD $,所以 $ \angle ECD = 6 \angle FCD $,所以 $ 6 \angle FCD = 2 \angle FCD + 2 \angle F + \angle E $.因为 $ \angle E = 30^\circ $, $ \angle AFC = 40^\circ $,所以 $ \angle FCD = 27.5^\circ $.

答案：
(1) $ 75^\circ $ 解析:如图①,分别过 A,B 两点作 $ AC // a $, $ BD // a $,因为 $ a // b $,所以 $ a // AC // BD // b $,所以 $ \angle CAB - \angle 3 + \angle 4 = 180^\circ $, $ \angle 1 = \angle 2 + \angle ABD $, $ \angle CAB + \angle ABD = 180^\circ $,所以 $ \angle CAB = 180^\circ + \angle 3 - \angle 4 $, $ \angle ABD = \angle 1 - \angle 2 $,所以 $ 180^\circ + \angle 3 - \angle 4 + \angle 1 - \angle 2 = 180^\circ $,所以 $ \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 $.因为 $ \angle 1 = \alpha = 70^\circ $, $ \angle 2 = \beta = 25^\circ $, $ \angle 3 = \gamma = 30^\circ $,所以 $ \angle 4 = 70^\circ + 30^\circ - 25^\circ = 75^\circ $.(2) $ \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 $(3) 如图②,分别过 A,B,E 作 $ AC // a $, $ BD // a $, $ EF // a $,所以 $ a // AC // BD // EF $,所以 $ \angle PEF = \angle 5 $, $ \angle CAE + \angle 4 + \angle PEF = 180^\circ $, $ \angle CAE + \angle 3 + \angle ABD = 180^\circ $, $ \angle 1 = \angle 2 + \angle ABD $,所以 $ \angle CAE = 180^\circ - \angle 4 - \angle 5 $, $ \angle ABD = \angle 1 - \angle 2 $,所以 $ 180^\circ - \angle 4 - \angle 5 + \angle 3 + \angle 1 - \angle 2 = 180^\circ $,即 $ ( \angle 1 + \angle 3 ) - ( \angle 2 + \angle 4 + \angle 5 ) = 0^\circ $.因为 $ m \angle 1 + n \angle 2 + m \angle 3 + n \angle 4 + n \angle 5 $ 为定值,即 $ m ( \angle 1 + \angle 3 ) + n ( \angle 2 + \angle 4 + \angle 5 ) $ 为定值,所以 m,n 互为相反数,所以 $ \frac{m}{n} = - 1 $.