8. (2024·松原期末)工人师傅需要把一截材料加工成U形零件.如图,工人师傅先把材料弯成了一个$40^{\circ }$的锐角,然后准备沿BA在点A处进行第二次加工,要保证弯过来的部分与BC平行,则第二次加工需要弯成____°的角.
答案：140 解析:根据题意画出示意图如图,
已知∠B = 40°,当∠A = 180° - 40° = 140°时,因为∠A + ∠B = 180°,所以AD//BC,所以第二次加工需要弯成140°的角.
9. 将一副三角尺按如图所示放置,则下列结论:①$∠1= ∠3$;②若$∠2= 30^{\circ }$,则有$AC// DE$;③若$∠2= 45^{\circ }$,则有$BC// AD$;④若$∠4= ∠C$,必有$∠2= 30^{\circ }$.其中正确的是____
①②③④
(填序号).
答案：①②③④ 解析:因为∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2 = 90°,所以∠1 = ∠3,故①正确.因为∠2 = 30°,所以∠1 = 90° - ∠2 = 60°.又∠E = 60°,所以∠1 = ∠E,所以AC//DE,故②正确.因为∠2 = 45°,所以∠3 = 45°.因为∠B = 45°,所以∠3 = ∠B,所以BC//AD,故③正确.因为∠4 = ∠C = 45°,所以∠CFE = ∠C = 45°.因为∠CFE + ∠E = ∠C + ∠1,所以∠1 = ∠E = 60°,所以∠2 = 90° - ∠1 = 30°,故④正确.则其中正确的是①②③④.
解析：
解：①②③④
解析：
①因为∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，所以∠1=∠3，故①正确；
②若∠2=30°，则∠1=90°-∠2=60°，又∠E=60°，所以∠1=∠E，所以AC//DE，故②正确；
③若∠2=45°，则∠3=90°-∠2=45°，又∠B=45°，所以∠3=∠B，所以BC//AD，故③正确；
④若∠4=∠C=45°，则∠CFE=∠4=45°，因为∠CFE+∠E=∠C+∠1，∠E=60°，所以45°+60°=45°+∠1，解得∠1=60°，所以∠2=90°-∠1=30°，故④正确。
综上，正确的是①②③④。
10. 如图,直线AB和CD被直线MN所截,分别交AB,CD于点E,F.
(1)如图①,EG平分$∠BEF$,FH平分$∠DFE$(平分的是一对同旁内角),则$∠1与∠2$满足
∠1 + ∠2 = 90°
时,$AB// CD$.
(2)如图②,EG平分$∠MEB$,FH平分$∠DFE$(平分的是一对同位角),则$∠1与∠2$满足
∠1 = ∠2
时,$AB// CD$.
(3)如图③,EG平分$∠AEF$,FH平分$∠DFE$(平分的是一对内错角),则$∠1与∠2$满足什么条件时,$AB// CD$? 为什么?
∠1 = ∠2.理由:因为EG平分∠AEF,FH平分∠DFE,所以∠AEF = 2∠1,∠DFE = 2∠2.因为∠1 = ∠2,所以∠AEF = ∠DFE,所以AB//CD.
答案：(1)∠1 + ∠2 = 90° 解析:因为EG平分∠BEF,FH平分∠DFE,所以∠BEF = 2∠1,∠DFE = 2∠2.因为∠1 + ∠2 = 90°,所以∠BEF + ∠DFE = 180°,所以AB//CD.(2)∠1 = ∠2 解析:因为EG平分∠BEM,FH平分∠DFE,所以∠BEM = 2∠1,∠DFE = 2∠2.因为∠1 = ∠2,所以∠BEM = ∠DFE,所以AB//CD.(3)∠1 = ∠2.理由:因为EG平分∠AEF,FH平分∠DFE,所以∠AEF = 2∠1,∠DFE = 2∠2.因为∠1 = ∠2,所以∠AEF = ∠DFE,所以AB//CD.
解析：
(1)∠1 + ∠2 = 90°
(2)∠1 = ∠2
(3)∠1 = ∠2.
理由：因为EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，
所以∠AEF = 2∠1，∠DFE = 2∠2.
因为∠1 = ∠2，
所以∠AEF = ∠DFE，
所以AB//CD.
11. 一次数学活动中,检验两条纸带①②的边线是否平行,小明和小丽采用两种不同的方法:如图,小明将纸带①沿AB折叠,量得$∠1= ∠2= 50^{\circ }$;小丽将纸带②沿GH折叠,发现直线GD与直线GC重合,直线HF与直线HE重合,则下列判断正确的是 ( )
A.纸带①的边线平行,纸带②的边线不平行
B.纸带①的边线不平行,纸带②的边线平行
C.纸带①②的边线都平行
D.纸带①②的边线都不平行
答案：B 解析:如纸带①所示,因为∠1 = ∠2 = 50°,∠1 = ∠3,所以∠3 = ∠2 = 50°.要使得纸带①的两边线平行,则应满足∠4 = ∠2 = 50°,且∠6 = ∠1 = 50°,由折叠可知此时∠5 = ∠4 = 50°.因为50° + 50° + 50° = 150°,不能组成平角,所以纸带①的边线不可能平行.
如纸带②所示,因为GD与GC重合,HF与HE重合,所以∠CGH = ∠DGH = 90°,∠EHG = ∠FHG = 90°,所以∠CGH + ∠EHG = 180°,所以纸带②的边线平行.故选B.
12. 将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起(如图①),其中$∠A= 30^{\circ },∠B= 60^{\circ },∠D= ∠E= 45^{\circ }$.
(1)猜想$∠BCD与∠ACE$的数量关系,并说明理由;
(2)若按住三角尺ABC不动,绕顶点C转动三角尺DCE,试探究$∠BCD$等于多少度时,$CD// AB$,并简要说明理由;
(3)若$∠BCD= 3∠ACE$,求$∠BCD$的度数,并直接写出此时DE与AC的位置关系.
答案：(1)∠BCD + ∠ACE = 180°.理由:因为∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 90° + ∠ACD,所以∠BCD + ∠ACE = 90° + ∠ACD + ∠ACE = 90° + 90° = 180°.
(2)当∠BCD = 120°或60°时,CD//AB.分两种情况讨论:如图①,根据同旁内角互补,两直线平行,当∠B + ∠BCD = 180°时,CD//AB,此时∠BCD = 180° - ∠B = 180° - 60° = 120°;
如图②,根据内错角相等,两直线平行,当∠B = ∠BCD = 60°时,CD//AB.
(3)设∠ACE = α,则∠BCD = 3α,由(1)可得∠BCD + ∠ACE = 180°,所以3α + α = 180°,所以α = 45°,所以∠BCD = 3α = 135°.此时DE⊥AC或DE//AC.
