9. (1)如图①,$∠AOB$是钝角,OC,OD,OE是三条射线,若$OC⊥OA$,OD平分$∠AOB$,OE平分$∠BOC$,那么$∠DOE$的度数为
45°
.
(2)如图②,直线AB,CD相交于点O,射线OF垂直于OD,且OF平分$∠AOE$.若$∠BOC+∠EOF= 210^{\circ }$,则$∠DOE$的度数为
30°
.
答案：(1) 45° 解析：设∠BOC = x°，则∠AOB = 90° + x°。因为OD平分∠AOB，所以∠BOD = $\frac{1}{2}$(90 + x)°。因为OE平分∠BOC，所以∠BOE = $\frac{1}{2}$x°，所以∠DOE = ∠BOD - ∠BOE = $\frac{1}{2}$(90 + x)° - $\frac{1}{2}$x° = 45°。
(2) 30° 解析：因为OF⊥CD，所以∠COF = ∠DOF = 90°，所以∠AOC + ∠AOF = ∠DOE + ∠EOF = 90°。因为OF平分∠AOE，所以∠AOF = ∠EOF，所以∠AOC = ∠DOE。因为∠AOC = ∠BOD，所以∠BOD = ∠DOE。设∠BOD = ∠DOE = x°，所以∠EOF = 90° - x，∠BOC = 180° - x。因为∠BOC + ∠EOF = 210°，所以180° - x + 90° - x = 210°，解得x = 30°，所以∠DOE = 30°。
10. (1)已知$OA⊥OB$,垂足为点O,若$∠AOC:∠AOB= 2:3$,则$∠BOC= $____.
(2)(2024·北京期中)仿照垂直的定义方法给出以下新定义:两条直线相交所形成的四个角中,如果有一个角是$60^{\circ }$,就称这两条直线互为“完美交线”,交点叫“完美点”.已知直线AB,CD互为“完美交线”,O为它们的“完美点”,$OE⊥AB$,则$∠EOC$的度数为____.
答案：(1) 30° 或 150° 解析：如图，OC的位置有两种：一种是在∠AOB内，一种是在∠AOB外。
因为OA⊥OB，所以∠AOB = 90°。因为∠AOC:∠AOB = 2:3，所以∠AOC = $\frac{2}{3}$∠AOB = $\frac{2}{3}$×90° = 60°。
①若OC在∠AOB内，则∠BOC = 90° - ∠AOC = 30°；
②若OC在∠AOB外，则∠BOC = 90° + ∠AOC = 150°。故答案为30° 或 150°。
(2) 30° 或 150° 解析：如图①，当OE在直线AB的上方时，由题意可得∠BOC = 60°。因为OE⊥AB，所以∠BOE = 90°，所以∠COE = ∠BOE - ∠BOC = 90° - 60° = 30°；
如图②，当OE在直线AB的下方时，由题意可得∠BOC = 60°。因为OE⊥AB，所以∠BOE = 90°，所以∠COE = ∠BOE + ∠BOC = 90° + 60° = 150°。故答案为30° 或 150°。
11. 如图①,OC是从直线AB上一点O引出的任意一条射线,OE平分$∠AOC$,沿顺时针方向作$∠EOF$,使得$∠EOF= 135^{\circ }$,以点O为端点引射线OD,使得OF是$∠BOD$的平分线.
(1)判断OC与OD的位置关系,并说明理由.
(2)如图②所示,若$∠EOF= 45^{\circ }$,OC与OD的位置关系是否发生变化? 并说明理由.
答案：(1) OC⊥OD。理由：因为∠BOE + ∠AOE = 180°，∠BOE + ∠BOF = 135°，所以∠AOE - ∠BOF = 45°。又OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，所以∠COE - ∠DOF = 45°，所以∠COD = ∠EOF - ∠COE + ∠DOF = 135° - 45° = 90°，所以OC⊥OD。
(2) OC与OD的位置关系不变。理由：因为OE平分∠AOC，OF是∠BOD的平分线，所以$\frac{1}{2}$∠BOD + ∠EOF + $\frac{1}{2}$∠AOC = 180°，所以∠BOD + ∠AOC = 270°。因为∠AOD + ∠DOC + ∠BOC = 180°，∠AOD + ∠BOC = 180° - ∠BOD + 180° - ∠AOC = 360° - 270° = 90°，所以∠COD = 90°，所以OC⊥OD，所以OC与OD的位置关系不变。
12. (广州中考)一副三角尺按如图所示的方式放置,将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α$(0^{\circ }＜α＜90^{\circ })$,使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直,则α的度数为____.
答案：15° 或 60° 解析：分三种情况讨论：①当DE⊥BC时，如图①，此时∠DHB = 90°。因为∠ADE = 45°，所以∠DGH = 180° - 90° - 45° = 45°，所以∠BGA = 45°。又∠CBA = 60°，由三角形的内角和为180°，可得∠DAB = 180° - 45° - 60° = 75°，所以∠DAF = α = 90° - 75° = 15°。②当AD⊥BC时，如图②，此时∠AGB = 90°。因为∠CBA = 60°，所以∠DAB = 90° - 60° = 30°，所以∠DAC = α = 90° - 30° = 60°。③当AE⊥BC时，如图③，此时α ＞ 90°，不符合题意，舍去。综上所述，α 的度数为15° 或 60°。
13. 已知直线$CD⊥AB$于点O,$∠EOF= 90^{\circ }$,射线OP平分$∠COF$.
(1)如图①,$∠EOF$在直线CD的右侧.
①若$∠COE= 30^{\circ }$,求$∠BOF和∠POE$的度数;
②请判断$∠POE与∠BOP$之间存在怎样的数量关系,并说明理由.
(2)如图②,$∠EOF$在直线CD的左侧,且点E在点F的下方.
①请直接写出$∠POE与∠BOP$之间的数量关系;
②请直接写出$∠POE与∠DOP$之间的数量关系.
答案：(1)①因为CD⊥AB，所以∠COB = 90°。因为∠EOF = 90°，所以∠COE + ∠BOE = ∠BOE + ∠BOF = 90°，所以∠BOF = ∠COE = 30°，所以∠COF = 90° + 30° = 120°。因为OP平分∠COF，所以∠COP = $\frac{1}{2}$∠COF = $\frac{1}{2}$×120° = 60°，所以∠POE = ∠COP - ∠COE = 60° - 30° = 30°。
② ∠POE = ∠BOP。理由：因为CD⊥AB，所以∠COB = 90°。因为∠EOF = 90°，所以∠COE + ∠BOE = ∠BOE + ∠BOF = 90°，所以∠BOF = ∠COE。因为OP平分∠COF，所以∠COP = ∠POF，所以∠POE = ∠COP - ∠COE，∠BOP = ∠POF - ∠BOF，所以∠POE = ∠BOP。
(2)① ∠POE = ∠BOP。 ② ∠POE + ∠DOP = 270°。
