5. 新趋势 项目式学习 操作与实践：在综合与实践活动课上,老师将一副三角尺按图①所示的位置摆放,分别在 $ \angle AOC $, $ \angle BOD $ 的内部作射线 $ OM $, $ ON $,然后提出如下问题：先添加一个适当条件,再求 $ \angle MON $ 的度数.
(1) 特例探究：“兴趣小组”的同学添加了“若 $ OM $, $ ON $ 分别平分 $ \angle AOC $, $ \angle BOD $”,画出如图②所示图形. 小组 3 号同学佳佳的做法：由于图中 $ \angle AOC $ 与 $ \angle BOD $ 的和为 $ 90^{\circ} $,所以我们容易得到 $ \angle MOC $ 与 $ \angle NOD $ 的和,这样就能求出 $ \angle MON $ 的度数. 请你根据佳佳的做法,写出解答过程.
(2) 特例探究：“发现小组”的同学添加了“若 $ \angle MOC = \frac{1}{3} \angle AOC $, $ \angle DON = \frac{1}{3} \angle BOD $”,画出如图③所示图形. 小组 2 号同学乐乐的做法：设 $ \angle AOC $ 的度数为 $ x $,我们就能用含有 $ x $ 的式子表示出 $ \angle COM $ 和 $ \angle DON $ 的度数,这样就能求出 $ \angle MON $ 的度数,请你根据乐乐的做法,写出解答过程.
(3) 类比拓展：受“兴趣小组”和“发现小组”的启发,“创新小组”的同学添加了“若 $ \angle MOC = \frac{1}{n} \angle AOC $, $ \angle DON = \frac{1}{n} \angle BOD $”. 请你直接写出 $ \angle MON $ 的度数.
答案：(1) 因为 OM，ON 分别平分$∠AOC$，$∠BOD$，所以$∠MOC = \frac{1}{2}∠AOC$，$∠DON = \frac{1}{2}∠BOD$。因为$∠AOC + ∠BOD = 180^{\circ} - ∠COD = 90^{\circ}$，所以$∠MON = ∠MOC + ∠COD + ∠DON = \frac{1}{2}(∠AOC + ∠BOD) + 90^{\circ} = 45^{\circ} + 90^{\circ} = 135^{\circ}$。
(2) 设$∠AOC$的度数为$x$，则$∠BOD$的度数为$90^{\circ} - x$。因为$∠MOC = \frac{1}{3}∠AOC$，$∠DON = \frac{1}{3}∠BOD$，所以$∠COM + ∠DON = \frac{1}{3}(∠AOC + ∠BOD) = \frac{1}{3}(x + 90^{\circ} - x) = 30^{\circ}$，所以$∠MON = ∠MOC + ∠COD + ∠DON = 30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ}$。
(3)$∠MON = \frac{90^{\circ}}{n} + 90^{\circ}$。解析：因为$∠MOC = \frac{1}{n}∠AOC$，$∠DON = \frac{1}{n}∠BOD$，所以$∠COM + ∠DON = \frac{1}{n}(∠AOC + ∠BOD)$，所以$∠MON = ∠MOC + ∠COD + ∠DON = \frac{1}{n}(∠AOC + ∠BOD) + 90^{\circ} = \frac{90^{\circ}}{n} + 90^{\circ}$。
归纳总结
模型 条件 结论
三等分角 $∠DCE = \frac{1}{3}∠ECA$，$∠FCE = \frac{1}{3}∠ECB$ $∠DCF = \frac{1}{3}∠ACB$
n等分角 $∠DCE = \frac{1}{n}∠ECA$，$∠FCE = \frac{1}{n}∠ECB$ $∠DCF = \frac{1}{n}∠ACB$
