1. 若关于 x 的方程$(3 - m)x^{2|m| - 5} + 3 = 2$是一元一次方程,则$m = $
-3
.
答案：-3
解析：
解：因为方程$(3 - m)x^{2|m| - 5} + 3 = 2$是一元一次方程，所以未知数$x$的最高次数为$1$，且系数不为$0$。
可得：$2|m| - 5 = 1$且$3 - m \neq 0$。
由$2|m| - 5 = 1$，得$2|m| = 6$，$|m| = 3$，所以$m = \pm 3$。
由$3 - m \neq 0$，得$m \neq 3$。
综上，$m = -3$。
$-3$
2. 已知单项式$-x^{|a + 1|}y^{3}与2x^{3}y^{b}$是同类项,则$a = $
-4或2
,$b = $
3
.
答案：-4或2
解析：
解：因为单项式$-x^{|a + 1|}y^{3}$与$2x^{3}y^{b}$是同类项，所以相同字母的指数相同。
对于$x$的指数：$|a + 1| = 3$，解得$a + 1 = 3$或$a + 1 = -3$，即$a = 2$或$a = -4$。
对于$y$的指数：$b = 3$。
综上，$a = -4$或$2$，$b = 3$。
$-4$或$2$；$3$
3. (2025·周口期末)若$4x^{m + 5}y^{2}与\frac{1}{3}x^{2m - 1}y^{n}$的和仍是单项式,则$m + n = $
8
.
答案：8
解析：
解：因为$4x^{m + 5}y^{2}$与$\frac{1}{3}x^{2m - 1}y^{n}$的和仍是单项式，所以它们是同类项。
同类项要求相同字母的指数相同，可得：
$m + 5 = 2m - 1$，解得$m = 6$；
$n = 2$。
所以$m + n = 6 + 2 = 8$。
8
4. (1)若式子$\frac{2x - 1}{3}与\frac{3}{2}$互为倒数,则$x = $
$\frac{3}{2}$
.
(2)若$\frac{1}{2}a + 1与\frac{2a - 7}{3}$互为相反数,则 a 的值为
$\frac{8}{7}$
.
答案：(1)$\frac{3}{2}$ (2)$\frac{8}{7}$
解析：
(1) 因为$\frac{2x - 1}{3}$与$\frac{3}{2}$互为倒数，所以$\frac{2x - 1}{3} × \frac{3}{2} = 1$，化简得$\frac{2x - 1}{2} = 1$，两边同乘$2$得$2x - 1 = 2$，移项得$2x = 3$，解得$x = \frac{3}{2}$。
(2) 因为$\frac{1}{2}a + 1$与$\frac{2a - 7}{3}$互为相反数，所以$\frac{1}{2}a + 1 + \frac{2a - 7}{3} = 0$，两边同乘$6$得$3a + 6 + 4a - 14 = 0$，合并同类项得$7a - 8 = 0$，移项得$7a = 8$，解得$a = \frac{8}{7}$。
(1)$\frac{3}{2}$；(2)$\frac{8}{7}$
5. 有一道解方程的题：$3x - (5□x) = - 7$,“□”处在印刷时被油墨盖住了,查阅后面的答案得知这个方程的解是$x = - 2$,那么“□”处应该是(
B
)
A.-2
B.+2
C.+3
D.-3
答案：B
解析：
解：设“□”处的符号为“+a”（这里a为选项中的数字，先假设符号为“+”，若后续验证不符再考虑“-”）。
将x=-2代入方程3x - (5□x) = -7，得：
3×(-2) - (5 + a×(-2)) = -7
即：-6 - (5 - 2a) = -7
去括号：-6 - 5 + 2a = -7
合并同类项：-11 + 2a = -7
移项：2a = -7 + 11
2a = 4
解得：a = 2
所以“□”处为“+2”，验证：当“□”为“+2”时，方程为3x - (5 + 2x) = -7，将x=-2代入左边：3×(-2) - (5 + 2×(-2)) = -6 - (5 - 4) = -6 -1 = -7，右边=-7，等式成立。
答案：B
6. 小琪在解关于 x 的一元一次方程$\frac{x + 3}{3} - \frac{mx - 1}{6} = \frac{5 - x}{2}$的去分母环节时,错误地得到了方程$2(x + 3) - mx - 1 = 3(5 - x)$,因而求得的解是$x = \frac{5}{2}$。现请你帮忙,求得原方程实际的解是(
B
)
A.$x = 1$
B.$x = 2$
C.$x = \frac{3}{2}$
D.$x = \frac{1}{2}$
答案：B 解析:先把$x=\frac{5}{2}$代入错误的方程中得$m=1$,把$m=1$代入原方程得$\frac{x+3}{3}-\frac{x-1}{6}=\frac{5-x}{2}$,解得$x=2$,则原方程实际的解是$x=2$.故选 B.
7. (2024·苏州期末)已知关于 x 的方程$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}与方程\frac{x - 1}{2} = 3x - 2$的解互为倒数,则$2m^{2} - 4m + 3$的值为
9
.
答案：9 解析:解方程$\frac{x-1}{2}=3x-2$,得$x=\frac{3}{5}$,所以方程$\frac{x-m}{2}=x+\frac{m}{3}$的解为$x=\frac{5}{3}$,代入可得$\frac{5}{6}-\frac{m}{2}=\frac{5}{3}+\frac{m}{3}$,解得$m=-1$,所以$2m^{2}-4m+3=2+4+3=9$.
解析：
解：解方程$\frac{x - 1}{2} = 3x - 2$
$x - 1 = 2(3x - 2)$
$x - 1 = 6x - 4$
$x - 6x = -4 + 1$
$-5x = -3$
$x = \frac{3}{5}$
因为两方程的解互为倒数，所以方程$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$的解为$x = \frac{5}{3}$
将$x = \frac{5}{3}$代入$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$
$\frac{\frac{5}{3} - m}{2} = \frac{5}{3} + \frac{m}{3}$
$\frac{5}{3} - m = 2(\frac{5}{3} + \frac{m}{3})$
$\frac{5}{3} - m = \frac{10}{3} + \frac{2m}{3}$
$5 - 3m = 10 + 2m$
$-3m - 2m = 10 - 5$
$-5m = 5$
$m = -1$
则$2m^2 - 4m + 3 = 2×(-1)^2 - 4×(-1) + 3 = 2 + 4 + 3 = 9$
答案：9
8. 如果方程$\frac{3x - 4}{2} - 7 = \frac{2x + 1}{3} - 1的解与方程4x - (3a + 1) = 6x + 2a - 1$的解相同,求式子$a^{2} - a + 1$的值。
答案：解方程$\frac{3x-4}{2}-7=\frac{2x+1}{3}-1$,得$x=10$,将$x=10$代入方程$4x-(3a+1)=6x+2a-1$,可得$40-(3a+1)=60+2a-1$,解得$a=-4$.所以$a^{2}-a+1=(-4)^{2}-(-4)+1=21$.
解析：
解：解方程$\frac{3x - 4}{2} - 7 = \frac{2x + 1}{3} - 1$
两边同乘6得：$3(3x - 4) - 42 = 2(2x + 1) - 6$
去括号得：$9x - 12 - 42 = 4x + 2 - 6$
移项合并得：$5x = 50$
解得：$x = 10$
将$x = 10$代入$4x - (3a + 1) = 6x + 2a - 1$
得：$40 - (3a + 1) = 60 + 2a - 1$
去括号得：$40 - 3a - 1 = 60 + 2a - 1$
移项合并得：$-5a = 20$
解得：$a = -4$
则$a^2 - a + 1 = (-4)^2 - (-4) + 1 = 16 + 4 + 1 = 21$
答案：21
9. 若关于 x 的一元一次方程$\frac{1}{2025}x + 4 = 3x + m的解是x = - 2024$,那么关于 y 的一元一次方程$\frac{1}{2025}(y + 1) + 4 = 3y + m + 3$的解是
$y=-2025$
.
答案：$y=-2025$ 解析:设$y+1=t$,所求方程变形得$\frac{1}{2025}t+4=3t+m$,所以$y+1=t=-2024$,解得$y=-2025$.
解析：
解：设$y + 1 = t$，则关于$y$的方程$\frac{1}{2025}(y + 1) + 4 = 3y + m + 3$可变形为$\frac{1}{2025}t + 4 = 3(t - 1) + m + 3$，化简得$\frac{1}{2025}t + 4 = 3t - 3 + m + 3$，即$\frac{1}{2025}t + 4 = 3t + m$。
因为关于$x$的方程$\frac{1}{2025}x + 4 = 3x + m$的解是$x = -2024$，所以$t = -2024$。
又因为$t = y + 1$，所以$y + 1 = -2024$，解得$y = -2025$。
$y = -2025$
10. (1)已知关于 x 的一次方程$(3a + 8)x + 7 = 0$无解,则$9a^{2} - 3a - 64$的值为
8
.
(2)若关于 x 的方程$\frac{3x}{2} + \frac{ax + 2}{3} = b$有无数个解,则 ab 的值为
-3
.
答案：(1)8 解析:由题意可知$3a+8=0$,解得$a=-\frac{8}{3}$.将$a=-\frac{8}{3}$代入$9a^{2}-3a-64$,得$9×(-\frac{8}{3})^{2}-3×(-\frac{8}{3})-64=64+8-64=8$. (2)-3 解析:原方程可整理为$(9+2a)x=6b-4$.因为原方程有无数个解,所以$9+2a=0$,且$6b-4=0$,解得$a=-\frac{9}{2},b=\frac{2}{3}$.所以$ab=-\frac{9}{2}×\frac{2}{3}=-3$. 方法总结 关于x的方程$ax=b$,若a不等于0,则该方程只有唯一解$x=\frac{b}{a}$;若$a=0$且$b=0$,则该方程有无数个解(无论x取何值,等式恒成立);若$a=0$且$b≠0$,则该方程无解(无论x取何值,等式恒不成立).
解析：
(1)解：因为关于$x$的一次方程$(3a + 8)x + 7 = 0$无解，所以$3a + 8 = 0$，解得$a=-\frac{8}{3}$。
将$a=-\frac{8}{3}$代入$9a^{2}-3a - 64$，得：
$9×(-\frac{8}{3})^{2}-3×(-\frac{8}{3})-64$
$=9×\frac{64}{9}+8 - 64$
$=64 + 8 - 64$
$=8$
(2)解：原方程$\frac{3x}{2}+\frac{ax + 2}{3}=b$两边同乘$6$去分母，得：
$9x + 2(ax + 2)=6b$
去括号：$9x + 2ax + 4 = 6b$
合并同类项：$(9 + 2a)x + 4 = 6b$，即$(9 + 2a)x=6b - 4$
因为方程有无数个解，所以$9 + 2a = 0$且$6b - 4 = 0$
解得$a=-\frac{9}{2}$，$b=\frac{2}{3}$
所以$ab=-\frac{9}{2}×\frac{2}{3}=-3$
答案：(1)8；(2)-3
11. (2024·福州月考)如果 a,b 为定值,关于 x 的一次方程$\frac{kx + 2a}{2} - \frac{x - bk}{6} = \frac{1}{2}$,无论 k 为何值时,它的解总是 1,求$6a + b$的值。
答案：将$x=1$代入原方程得$\frac{k+2a}{2}-\frac{1-bk}{6}=\frac{1}{2}$,所以$3k+6a-1+bk=3$,所以$3k+bk=4-6a$,所以$(3+b)k=4-6a$.根据题意得$3+b=0,4-6a=0$,解得$a=\frac{2}{3},b=-3$,所以$6a+b=6×\frac{2}{3}-3=1$.
解析：
解：将$x=1$代入原方程$\frac{kx + 2a}{2} - \frac{x - bk}{6} = \frac{1}{2}$，得：
$\frac{k + 2a}{2} - \frac{1 - bk}{6} = \frac{1}{2}$
方程两边同乘6去分母，得：
$3(k + 2a) - (1 - bk) = 3$
去括号，得：
$3k + 6a - 1 + bk = 3$
移项、合并同类项，得：
$(3 + b)k + 6a - 4 = 0$
即：
$(3 + b)k = 4 - 6a$
因为无论$k$为何值，方程的解总是1，所以关于$k$的方程$(3 + b)k = 4 - 6a$对任意$k$都成立，因此系数和常数项都必须为0，即：
$\begin{cases}3 + b = 0 \\4 - 6a = 0\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = \frac{2}{3} \\b = -3\end{cases}$
所以$6a + b = 6×\frac{2}{3} + (-3) = 4 - 3 = 1$
答：$6a + b$的值为$1$。
