第91页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

$π$

$\frac{9}{4}$

解：连接$BE$，$DF$，$EF$，过点$P_{作}PH⊥ AB$于点$H$，

则$∠ BHP=∠ AHP=90°$。

$ $因为四边形$ABCD$是边长为$3\sqrt {2}$的正方形，

$ $所以$AB=3\sqrt {2}$，$∠ ABP=∠ ADP=45°$，

$ $所以$∠ BPH=90°-∠ ABP=45°$，

$ $所以$∠ ABP=∠ BPH$，即$BH=PH$。

$ $设$BH=PH=x$，则$BP=\sqrt {BH^2+PH^2}=\sqrt {2}x$。

$ $又$BP=2$，所以$\sqrt {2}x=2$，解得$x=\sqrt {2}$，

$ $所以$BH=PH=\sqrt {2}$，$AH=AB-BH=2\sqrt {2}$，

$ $所以$AP=\sqrt {AH^2+PH^2}=\sqrt {10}$。

$ $因为$E$，$F $分别是$△ APB$和$△ APD$的外心，

$ $所以$∠ AEP=2∠ ABP=90°$，$∠ AFP=2∠ ADP=90°$，$EA=EP$，$FA=FP$，

$ $所以$∠ EAP=∠ EPA=\frac {1}{2}(180°-∠ AEP)=45°$，$∠ FAP=∠ FPA=\frac {1}{2}(180°-∠ AFP)=45°$，

$ $所以$∠ EAF=∠ EAP+∠ FAP=90°$，

$ $因此四边形$AEPF $是正方形，$EF⊥ AP$，$EF=AP=\sqrt {10}$，

$ $所以$S_{正方形AEPF}=\frac {1}{2}EF· AP=5$。

$ $故四边形$AEPF $的面积为$5$。

解：连接$OA$，$OM$，$ON$。

$ $因为半圆分别与$AB$，$AC$相切于点$M$，$N$，

$ $所以$AM=AN$，$OM⊥ AB$，$ON⊥ AC$，

即$∠ OMA=∠ ONA=90°$。

$ $因为$∠ BAC=120°$，

$ $所以$∠ MON=360°-∠ BAC-∠ OMA-∠ ONA=60°$。

$ $设半圆的半径为$r$，由$\overset {\frown }{MN}$的长为$π$，得$\frac {60π r}{180}=π$，

解得$r=3$，即$OM=ON=3$。

$ $在$Rt△ OAM$和$Rt△ OAN$中，

$ \begin {cases}OA=OA\\OM=ON\end {cases}$，所以$Rt△ OAM≌Rt△ OAN$，

$ $所以$∠ AOM=∠ AON=\frac {1}{2}∠ MON=30°$，

即$AM=AN=\frac {1}{2}OA$。

$ $设$AM=AN=x$，则$OA=2x$，

由勾股定理得$OM=\sqrt {OA^2-AM^2}=\sqrt {3}x$，

即$\sqrt {3}x=3$，解得$x=\sqrt {3}$，

所以$AM=AN=\sqrt {3}$。

$ $因为$AB+AC=16$，

所以$BM+CN=AB+AC-AM-AN=16-2\sqrt {3}$，

$ $因此$S_{△ OBM}+S_{△ OCN}=\frac {1}{2}BM· OM+\frac {1}{2}CN· ON$

$=\frac {1}{2}(BM+CN)· OM=24-3\sqrt {3}$。

$ $又$∠ MOE+∠ NOF=180°-∠ MON=120°$，

$ $所以$S_{扇形OEM}+S_{扇形OFN}=\frac {120π×3^2}{360}=3π$，

$ $所以$S_{阴影}=S_{△ OBM}+S_{△ OCN}-(S_{扇形OEM}+S_{扇形OFN})$

$=24-3\sqrt {3}-3π$。

$ $故阴影部分的面积为$24-3\sqrt {3}-3π$。

解：$ (1) $连接$OB$。

$ $因为$OD⊥ BC$，$BC=4\sqrt {3}$，

$ $所以$∠ OEB=90°$，$BE=\frac {1}{2}BC=2\sqrt {3}$。

$ $设$\odot O$的半径为$R$，则$OB=OD=R$。

$ $由$DE=2$，得$OE=OD-DE=R-2$。

$ $由勾股定理$BE^2+OE^2=OB^2$，代入得$(2\sqrt {3})^2+(R-2)^2=R^2$，

解得$R=4$。

$ $故$\odot O$的半径为$4$。

$ (2) $连接$OB$，$BD$，过点$O$作$OF⊥ BD$于点$F$，延长$FO$与$\odot O$交于点$A$，

此时阴影部分的面积最大。

$ $因为$OA=OB=OD=4$，$DE=2$，

所以$OE=OD-DE=2$，

即$OE=\frac {1}{2}OB$。

$ $由$∠ OEB=90°$，得$∠ OBE=30°$，

因此$∠ BOE=90°-∠ OBE=60°$，

$ $所以$△ OBD$为等边三角形，$BD=OB=4$，

即$BF=DF=\frac {1}{2}BD=2$。

$ $所以$S_{△ OAB}=\frac {1}{2}OA· BF=4$，$S_{△ OAD}=\frac {1}{2}OA· DF=4$。

$ $又$S_{扇形OBD}=\frac {60π×4^2}{360}=\frac {8π}{3}$，

$ $所以$S_{阴影}=S_{扇形OBD}+S_{△ OAB}+S_{△ OAD}=\frac {8π}{3}+8$。

$ $故阴影部分面积的最大值为$\frac {8π}{3}+8$。