解：$ (1) $由题意，得
$\frac {1}{7}(7+a+8+b+10+c+6)=4$，
$ $所以$a+b+c=-3$，
$ $所以$\frac {1}{3}(a+b+c)=-1$。
$ $故$a，b，c $的平均数为$-1$。
$ (2) $因为$a+b+c=-3$，
$ $所以$\frac {1}{3}(2a+1+2b+1+2c+1)$
$=\frac {2}{3}(a+b+c)+1$
$=\frac {2}{3}×(-3)+1$
$=-1$。
$ $故$2a+1，2b+1，2c+1$的平均数为$-1$。
