解：$(1) $连接$AC$。
$ $因为$AT$是$\odot O$的切线，
所以$AT⊥ AB$，即$∠ TAB=90°$。
$ $又因为$∠ ABT=50°$，
所以$∠ T=90°-∠ ABT=40°$。
$ $因为$AB$是$\odot O$的直径，
所以$∠ ACB=90°$，
$ $因此$∠ CAB=90°-∠ ABT=40°$，
由同弧所对的圆周角相等可得
$∠ CDB=∠ CAB=40°$。
$ (2) $连接$AD$。
$ $因为$∠ ABT=50°$，$BE=BC$，
$ $所以$∠ BCE=∠ BEC=\frac {1}{2}(180°-∠ ABT)=65°$，
$ $因此$∠ BAD=∠ BCE=65°$。
$ $因为$OA=OD$，
所以$∠ ODA=∠ BAD=65°$。
又因为同弧所对的圆周角相等，
$∠ ADC=∠ ABT=50°$，
$ $所以$∠ CDO=∠ ODA-∠ ADC=15°$。
