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第74页

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$ B$

$135°$

$2\sqrt{2}$

解：$ (1) $过点$D$作$DN ⊥ AB$于点$N$。

$ $因为$DE ⊥ BC$，$DF ⊥ AC$，

所以$∠ DEC = ∠ DFC = 90°$。

$ $又$∠ C = 90°$，

所以四边形$CFDE$是矩形。

$ $因为$AD$平分$∠ BAC$，

所以$DF = DN$。

$ $因为$BD$平分$∠ ABC$，

所以$DE = DN$，

$ $所以$DF = DE$，

因此四边形$CFDE$是正方形。

$ (2) $因为$∠ C = 90°$，$AC=3$，$BC=4$，

$ $所以$AB = \sqrt {AC^2 + BC^2} = 5$。

$ $设$△ ABC$的内切圆的半径为$r$，

$ $则$S_{△ ABC} = \frac {1}{2}AC · BC = \frac {1}{2}(AC+BC+AB) · r$，

$ $即$\frac {1}{2} × 3 × 4 = \frac {1}{2} × (3+4+5) × r$，

$ $解得$r=1$。

$ $故$△ ABC$的内切圆的半径为$1$。

$ A$

解：因为$AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的中线，$BC=8$，

$ $所以$BD=CD=\frac {1}{2}BC=4$，$∠ BAD = ∠ CAD$，$AD ⊥ BC$，

$ $所以$∠ ADB = 90°$，且$P，Q $两点都在直线$AD$上，

$ △ ABC$的内切圆$\odot Q $与$BC$相切于点$D$。

$ $因为$AD=3$，

所以$AC=AB = \sqrt {AD^2 + BD^2} = 5$。

$ $连接$PA，PB$，设$PA=PB=R$，$QD=r$，

则$PD = PA - AD = R - 3$。

$ $因为$∠ PDB = 180° - ∠ ADB = 90°$，

$ $所以$PD^2 + BD^2 = PB^2$，即$(R-3)^2 + 4^2 = R^2$，

$ $解得$R = \frac {25}{6}$，所以$PD = \frac {7}{6}$。

$ $因为$S_{△ ABC} = \frac {1}{2}BC · AD = \frac {1}{2}(AB+AC+BC) · r$，

$ $所以$\frac {1}{2} × 8 × 3 = \frac {1}{2} × (5+5+8) × r$，

$ $解得$r = \frac {4}{3}$，所以$QD = \frac {4}{3}$，

$ $因此$PQ = PD + QD = \frac {7}{6} + \frac {4}{3} = \frac {5}{2}$。

$ $故点$P $与点$Q $之间的距离为$\frac {5}{2}$。