解：$(1)$∵$DE// BC$，$DF// AC$，
∴四边形$DFCE$为平行四边形。
又∵$∠ ACB=90°$，
∴四边形$DFCE$为矩形。
∵$AC=BC$，
∴$∠ A=∠ ABC=\frac {1}{2}(180°-∠ ACB)=45°$，
$ AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {2}AC$。
∵$AB=10\ \mathrm {cm}$，
∴$AC=BC=\frac {\sqrt {2}}{2}AB=5\sqrt {2}\mathrm {cm}$。
∵$∠ AED=∠ ACB=90°$，
∴$∠ ADE=90°-∠ A=45°$，
∴$∠ A=∠ ADE$，即$AE=DE$，
∴$AD=\sqrt {AE^2+DE^2}=\sqrt {2}DE$。
∵$AD=2t\mathrm {cm}$，
∴$DE=\frac {\sqrt {2}}{2}AD=\sqrt {2}t\mathrm {cm}$。
∵点$D$在边$AB$上，
∴$CE=AC-AE=(5\sqrt {2}-\sqrt {2}t)\mathrm {cm}$，
∴$S_{矩形DFCE}=CE· DE=(10t-2t^2)\mathrm {cm}^2$。
又∵$S_{矩形DFCE}=12\ \mathrm {cm}^2$，
∴$10t-2t^2=12$，
$ $解得$t_1=2$，$t_2=3$。
$ $故当$t $的值为$2$或$3$时，四边形$DFCE$的面积为$12\ \mathrm {cm}^2$
$ (2) ① $存在。
$ $当$⊙D$恰好经过点$B$时，$BD=DE$。
∵$AB=10\ \mathrm {cm}$，$AD=2t\mathrm {cm}$，$DE=\sqrt {2}t\mathrm {cm}$，
分两种情况讨论：$ $当点$D$在边$AB$上时，
$BD=AB-AD=(10-2t)\mathrm {cm}$，
$ $则$10-2t=\sqrt {2}t$，解得$t=10-5\sqrt {2}$；
当点$D$在边$AB$的延长线上时，
$BD=AD-AB=(2t-10)\mathrm {cm}$，
$ $则$2t-10=\sqrt {2}t$，解得$t=10+5\sqrt {2}$。
综上，存在$t $的值，使$⊙D$恰好经过点$B$，$t $的值为
$10\pm 5\sqrt {2}$。
