证明：$(1)$因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
所以$∠ ABC + ∠ ADC = 180°$。
$ $因为$∠ ABC = 60°$，
所以$∠ ADC = 180° - ∠ ABC = 120°$。
$ $因为$DB$平分$∠ ADC$，
所以$∠ ADB = ∠ CDB = \frac {1}{2}∠ ADC = 60°$，
$ $所以$∠ ACB = ∠ ADB = 60°$，
$∠ BAC = ∠ CDB = 60°$，
$ $所以$∠ ABC = ∠ ACB = ∠ BAC$，
即$△ ABC$是等边三角形。
$ (2)$过点$A$作$AE ⊥ CD$，交$CD$的延长线于点$E$，
过点$B$作$BF ⊥ AC$于点$F$，
则$∠ AED = ∠ AFB = 90°$。
$ $因为$∠ ADC = 120°$，
所以$∠ ADE = 180° - ∠ ADC = 60°$，
$ $所以$∠ DAE = 90° - ∠ ADE = 30°$，
所以$DE = \frac {1}{2}AD$。
$ $因为$AD=2$，
所以$DE=1$，
所以$AE = \sqrt {AD^2 - DE^2} = \sqrt {3}$。
$ $因为$CD=4$，
所以$S_{△ ACD} = \frac {1}{2}CD · AE = 2\sqrt {3}$，
$ CE = CD + DE = 5$，
所以$AC = \sqrt {AE^2 + CE^2} = 2\sqrt {7}$。
$ $因为$△ ABC$是等边三角形，
所以$AB = AC = 2\sqrt {7}$，$AF = \frac {1}{2}AC = \sqrt {7}$，
$ $所以$BF = \sqrt {AB^2 - AF^2} = \sqrt {21}$，
所以$S_{△ ABC} = \frac {1}{2}AC · BF = 7\sqrt {3}$，
$ $所以$S_{四边形ABCD} = S_{△ ACD} + S_{△ ABC} = 9\sqrt {3}$。
$ $故四边形$ABCD$的面积为$9\sqrt {3}$。
