证明$：$因为四边形$ABCD $是正方形$， $
所以$ BA=BC，∠ ABC=90°， $
所以$ ∠ ABP+∠ CBP=90°. $
因为$ BE ⊥ PB， $
所以$ ∠ PBE=90°， $
所以$ ∠ ABP+∠ ABE=90°， $
所以$ ∠ ABE=∠ CBP. $
因为四边形$ ABCP $是圆的内接四边形$， $
所以$ ∠ BAP+∠ BCP=180°. $
因为$ ∠ BAP+ ∠ BAE=180°， $
所以$ ∠ BAE=∠ BCP. $
在$ △ ABE $和$△ CBP $中$， $
$\begin {cases}∠ABE=∠ CBP\\BA=BC\\∠ BAE=∠ BCP\end {cases} $
所以$ △ ABE ≌ △ CBP，$
所以$ EA=PC， BE=BP， $
所以$ PA+PC=PA+EA= PE=\sqrt {BP^2+BE^2}$
$=\sqrt {2}BE.$
