证明：$(1)$取$AC$的中点为$O$，连接$AD$，$OD$，$OM$
$ $因为$△ ABC$为等边三角形，且$D$为$BC$的中点，
所以$AD⊥ BC$，
即$∠ ADC=90°$。
$ $又$AM⊥ CM$，
所以$∠ AMC=90°$，
$ $所以$OD=OM=OA=OC=\frac {1}{2}AC$，
$ $所以点$A$，$D$，$C$，$M$在同一个圆上。
$ (2)$连接$OB$。
$ $因为$△ ABC$为等边三角形，
所以$AC=AB=2$。
$ $又$O$为$AC$的中点，
所以$OM=OA=OC=\frac {1}{2}AC=1$，且$OB⊥ AC$
即$∠ AOB=90°$，
$ $所以$OB=\sqrt {AB^2-OA^2}=\sqrt {3}$。
由三角形三边关系得
$OB-OM≤ BM≤ OB+OM$，
即$\sqrt {3}-1≤ BM≤\sqrt {3}+1$，
$ $所以$BM$长的最大值为$\sqrt {3}+1$，最小值为$\sqrt {3}-1$
