解：连接$OC$，过点$O$作$OK⊥ AB$，交$BC$于点$K$，过$A$，$K$两点分别
作$AM⊥ x$轴于点$M$，$KT⊥ x$轴于点$T$，
则$∠ OTK=∠ AMO=∠ KOA=90°$。
$ $因为$∠ ABC=45°$，
所以$∠ OKB=90°-∠ ABC=45°$，即$∠ OKB=∠ OBK$，
所以$OK=BO$。
$ $又$A$，$B$两点都在双曲线$y=\frac {k}{x}$上，且直线$AB$经过原点$O$，
所以$AO=BO$，因此$OK=AO$。
$ $因为$∠ OKT+∠ KOT=90°$，
$∠ AOM+∠ KOT=180°-∠ KOA=90°$，
所以$∠ OKT=∠ AOM$，
所以$△ OKT≌△ AOM$，可得$KT=OM$，$OT=AM$。
$ $因为直线$AB$的函数表达式为$y=\frac {1}{3}x$，
设点$A$的坐标为$(x_0，\frac {x_0}{3})$，
则点$B$的坐标为$(-x_0，-\frac {x_0}{3})$，
因此$KT=OM=x_0$，$OT=AM=\frac {x_0}{3}$，
即点$K$的坐标为$(-\frac {x_0}{3}，x_0)$。
$ $易得直线$BC$的函数表达式为$y=2x+\frac {5}{3}x_0$，
设点$C$的坐标为$(t，2t+\frac {5}{3}x_0)$。
设直线$BC$与$y$轴的交点为$J$，则点$J$的坐标为$(0，\frac {5}{3}x_0)$。
$ $因为$S_{△ ABC}=35$，所以$S_{△ BOC}=\frac {1}{2}S_{△ ABC}=\frac {35}{2}$，
即$S_{△ BOJ}+S_{△ COJ}=\frac {35}{2}$，
因此$\frac {1}{2}x_0·\frac {5}{3}x_0+\frac {1}{2}t·\frac {5}{3}x_0=\frac {35}{2}$，
化简得$x_0(x_0+t)=21$。
$ $又$k=x_0·\frac {x_0}{3}=t(2t+\frac {5}{3}x_0)$，
整理得$(x_0+t)(x_0-6t)=0$。
$ $因为$x_0+t≠0$，
所以$x_0-6t=0$，即$t=\frac {x_0}{6}$。
$ $把$t=\frac {x_0}{6}$代入$x_0(x_0+t)=21$，得$\frac {7}{6}x_0^2=21$，即$x_0^2=18$，
所以$k=\frac {x_0^2}{3}=6$。
