解：$ (1) $由题意得，$V_{排} = Sh$，所以$F_{浮} = ρg Sh$。
$ $又$F_{浮} = G$，因此$G = ρg S h$，整理得$h = \frac {G}{ρg S}$。
$ $所以$h $是关于$ρ $的反比例函数，反比例系数$k = \frac {G}{gS}$。
$ (2) ① $将$G=0.4\ \mathrm {N}$，$ρ=0.8×10^3\ \mathrm {kg/m}^3$，$g=10\ \mathrm {N/kg}$，$S=2×10^{-4}\ \mathrm {m^2}$代入$h=\frac {G}{ρg S}$：
$ h = \frac {0.4}{0.8×10^3 × 10 × 2×10^{-4}} = 0.25\ \mathrm {m}$
$ $故浸入深度$h $为$0.25\ \mathrm {m}$。
$ ② $由$h=\frac {G}{ρg S}$变形得$ρ= \frac {G}{h g S}$，代入$h=0.2\ \mathrm {m} $及已知数值：
$ ρ= \frac {0.4}{0.2 × 10 × 2×10^{-4}} = 1×10^3\ \mathrm {kg/m}^3$
$ $故该液体的密度$ρ $为$1×10^3\ \mathrm {kg/m}^3$。
$ (3) $由$h=\frac {k}{ρ}$可得$k = hρ$，代入已知条件：
$ 0.12 × 1×10^3 = 0.15 ρ$
$ $解得$ρ= 0.8×10^3\ \mathrm {kg/m}^3$
$ $故另一种液体的密度为$0.8×10^3\ \mathrm {kg/m}^3$。
$ (4) $增加质量$m $时，浸入深度$h_{增大}$；增加底面圆半径$r$时，浸入深度$h_{减小}$。
理由如下：
$ $由$G=mg$，代入$h=\frac {G}{ρg S}$得$h = \frac {mg}{ρg S} = \frac {m}{ρS}$，在$ρ$、$S $不变时，$h_{随}m $的增大而增大。
$ $又底面积$S=π r^2$，代入得$h = \frac {m}{ρπ r^2}$，在$ρ$、$m $不变时，$h_{随}r$的增大而减小。
