解：$(2)$由题图，得当$-2＜x＜0$时，$y_2＜y_1$，
$ $即$-2x+b=(x+1)(x-3)-x^2=-2x-3$，
$ $可得$b=-3$，
$ $因此$y_2=-2x-3$。
$ $当$x=-2$时，$y_2=-2×(-2)-3=1$，
$ $所以点$A$的坐标为$(-2，1)$。
$ $又点$A(-2，1)$在反比例函数$y_1=\frac {k}{x}$的图象上，
$ $代入得$1=\frac {k}{-2}$，解得$k=-2$，
$ $所以$y_1=-\frac {2}{x}$。
综上，两个函数的表达式为$y_1=-\frac {2}{x}$和$y_2=-2x-3$。
