解：$(1) $把点$C(-4，0)$代入$y=kx+2$，
得$-4k+2=0$，
解得$k=\frac {1}{2}$。
在$y=\frac {1}{2}x+2$中，
令$x=0$，得$y=2$，
所以点$B$的坐标为$(0，2)$。
又点$A(2，n)$在一次函数$y=\frac {1}{2}x+2$的图象上，
所以$n=\frac {1}{2}×2+2=3$，
即点$A$的坐标为$(2，3)$。
又点$A$在反比例函数$y=\frac {m}{x}$的图象上，
所以$m=2×3=6$。
$(2) $过点$A$作$AD⊥ x$轴于点$D$。
因为点$A$的坐标为$(2，3)$，点$B$的坐标为$(0，2)$，
所以$AD=3$，$OB=2$。
又点$P $的坐标为$(a，0)$，点$C$的坐标为$(-4，0)$，
所以$PC=|a+4|$。
又$S_{△ APB}=S_{△ ACP}-S_{△ BCP}$，$△ APB$的面积为$\frac {7}{2}$，
所以$\frac {1}{2}×3|a+4|-\frac {1}{2}×2|a+4|=\frac {7}{2}$，
解得$a=3$或$a=-11$。
故$a$的值为$3$或$-11$。
