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第40页

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$-6$

$-3$

解：$(1) $把点$B(1，3)$代入$y=\frac {k}{x}$，得$k=3$，

所以反比例函数的表达式为$y=\frac {3}{x}$。

$ $把$A(-3，a)$代入$y=\frac {3}{x}$，得$a=-1$，

所以$A(-3，-1)$。

$ $把点$A(-3，-1)$，$B(1，3)$分别代入$y=mx+n$，

得$\begin {cases}3m+n=-1\\m+n=3 \end {cases}$

$ $解得$\begin {cases}\ \mathrm {m}=1\\n=2 \end {cases}$

$ $故一次函数的表达式为$y=x+2$。

$ (2) $由题图，得不等式$mx+n＞\frac {k}{x}$的解集为$x＞1$

或$-3＜x＜0$。

$ (3) $设$P(b，\frac {3}{b})(b＜0)$。

$ $在$y=x+2$中，令$y=0$，得$x+2=0$，

解得$x=-2$，

所以$C(-2，0)$，所以$OC=2$；

$ $令$x=0$，得$y=2$，

所以$D(0，2)$，

所以$OD=2$。

$ $过点$B$作$BM⊥ y$轴于点$M$，过点$P_{作}PN⊥ x$轴

于点$N$，

$ $则$PN=-\frac {3}{b}$，

所以$S_{△ OCP}=\frac {1}{2}OC· PN=-\frac {3}{b}$。

$ $因为$B(1，3)$，

所以$BM=1$，

所以$S_{△ OBD}=\frac {1}{2}OD· BM=1$。

$ $因为$S_{△ OCP}=4S_{△ OBD}$，

所以$-\frac {3}{b}=4$，

即$b=-\frac {3}{4}$，$\frac {3}{b}=-4$，

$ $所以点$P $的坐标为$(-\frac {3}{4}，-4)$。

证明：$(2)$由题意，得$p=\frac {k}{m}$，$q=\frac {k}{n}$。

$ $因为$q=ip$，

所以$\frac {k}{n}=i·\frac {k}{m}$。

$ $又$k≠0$，

所以$\frac {1}{n}=i·\frac {1}{m}$，

即$i=\frac {m}{n}$。

$ $又$i$为正整数，

所以$\frac {m}{n}≥1$。

$ $假设$n＞0$，则$m≥ n$，这与$m＜n$矛盾。

$ $又$n≠0$，

所以$n＜0$。

$ (3) $因为$a≤ x≤ a+4$是反比例函数$y=\frac {k}{x}$的

$3$倍区间，

$ $所以$\frac {3k}{a}=\frac {k}{a+4}$。

$ $因为$k≠0$，

所以$a=3(a+4)$，

解得$a=-6$。

$ $当$k＞0$时，反比例函数的图象位于第一、三

象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，

$ $所以$-\frac {k}{6}-(-\frac {k}{2})=\frac {5}{2}$，

解得$k=\frac {15}{2}$。

$ $当$k＜0$时，反比例函数的图象位于第二、四

象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，

$ $所以$-\frac {k}{2}-(-\frac {k}{6})=\frac {5}{2}$，

解得$k=-\frac {15}{2}$。

综上所述，$a=-6$，$k=\frac {15}{2}$或$k=-\frac {15}{2}$。