解：$(1) $由题图，得点$A$的坐标为$(1，5)$，点$B$
的坐标为$(5，1)$，
$ $则$m=1×5=5$。
$ $设直线$AB$的函数表达式为$y=kx+b$。
$ $把点$A(1，5)$，$B(5，1)$分别代入$y=kx+b$，
得
$ \begin {cases}k+b=5\\5k+b=1\end {cases}$
$ $解得$\begin {cases}k=-1\\b =6\end {cases}$
$ $所以直线$AB$的函数表达式为$y=-x+6$。
$ (2) $由题图，得封闭图形中所含整点的坐标为
$(2，3)$，$(3，2)$。
