解：$(1) $把点$A(6，2)$代入$y=\frac {2}{3}x+m$，
得$2=\frac {2}{3}×6+m$，
解得$m=-2$；
$ $把点$A(6，2)$代入$y=\frac {k}{x}$，得$2=\frac {k}{6}$，
解得$k=12$。
$ $故一次函数和反比例函数的表达式分别为$y=\frac {2}{3}x-2$，$y=\frac {12}{x}$。
$ (2) $设反比例函数$y=\frac {k}{x}$图象上的任意一点为$(s，t)$。
$ $因为$st=ts=k$，
所以点$(t，s)$与点$(s，t)$都在反比例函数$y=\frac {k}{x}$
的图象上。
$ $因为点$(s，t)$与点$(t，s)$的中点坐标为$(\frac {s+t}{2}，\frac {t+s}{2})$，
所以点$(s，t)$与点$(t，s)$关于直线$y=x$对称，
即反比例函数$y=\frac {k}{x}$的图象关于直线$y=x$对称。
$ $因为$∠1=∠2$，
所以点$A$与点$C$关于直线$y=x$对称。
$ $又$A(6，2)$，
所以$C(2，6)$。
$ $设一次函数的图象平移后所得图象的函数表
达式为$y=\frac {2}{3}x+n$。
$ $把点$C(2，6)$代入$y=\frac {2}{3}x+n$，
得$6=\frac {2}{3}×2+n$，
解得$n=\frac {14}{3}$。
$ $因为$\frac {14}{3}-(-2)=\frac {20}{3}$，
所以一次函数的图象平移的距离为$\frac {20}{3}$。
