第111页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

B

 解：

 ∵ OA=OB，∠OBA=50°，

 ∴ ∠OAB=∠OBA=50°，

 ∴ ∠AOB=80°。

 ∵ OB=OC，∠OBC=60°，

 ∴ △BOC是等边三角形，

 ∴ ∠BOC=60°，

 ∴ ∠AOC=∠AOB+∠BOC=140°。

又

 ∵ OA=OC，

 ∴ ∠OAC=20°

B

2

 证明：过点O作OH⊥AB于点H，则AH=BH。

 ∵ OC=OD，OH⊥AB，

 ∴ CH=DH。

 ∴ CH-AH=DH-BH，即AC=BD

 解：

 (1) 过点O作OE⊥AB于点E，则CE=DE，AE=BE，

 ∴ AE-CE=BE-DE，即AC=BD。

 (2) 连接OC，OA。

由

 (1)可知OE⊥AB。

 ∵ OE=6，OC=8，

 ∴ $CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}。$

 ∵ OA=10，

 ∴ $AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8。$

 ∴ $AC=AE-CE=8-2\sqrt{7}$

【分析】要比较线段CM与DN的大小，已知OC、OD是⊙O的半径，故OC=OD，只需证明OM=ON即可。由∠OMN=∠ONM，根据等腰三角形“等角对等边”的性质可得OM=ON，进而可推导出CM与DN的关系。
【解析】过点O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理，可得AE=BE。因为OC、OD是⊙O的半径，所以OC=OD。又因为∠OMN=∠ONM，在△OMN中，等角对等边，所以OM=ON。因此OC - OM = OD - ON，即CM=DN。
【答案】B
【知识点】垂径定理、等腰三角形性质、圆的半径
【点评】本题结合圆的半径和垂径定理，利用等腰三角形的性质推导线段相等，属于基础几何题，考查学生对圆的基本性质和等腰三角形性质的掌握情况。
【难度系数】0.6

【分析】
要计算∠OAC的度数，需利用圆的半径相等的性质，先分析相关三角形的角度：OA、OB为⊙O的半径，故OA=OB，△OAB是等腰三角形，可求∠AOB；OB、OC也是半径，结合∠OBC=60°，可判断△OBC为等边三角形，得到∠BOC；再求出∠AOC，最后利用OA=OC，在等腰△OAC中计算∠OAC。
【解析】
解：
∵ OA = OB（⊙O的半径相等），
∴ △OAB是等腰三角形，
∴ ∠OAB = ∠OBA = 50°，
∴ ∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 180° - 50° - 50° = 80°。
又
∵ OB = OC（⊙O的半径相等），∠OBC = 60°，
∴ △OBC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ ∠BOC = 60°。
∴ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 80° + 60° = 140°。
∵ OA = OC（⊙O的半径相等），
∴ △OAC是等腰三角形，
∴ ∠OAC = (180° - ∠AOC) ÷ 2 = (180° - 140°) ÷ 2 = 20°。
【答案】
20°
【知识点】
等腰三角形性质，等边三角形判定，圆的半径性质
【点评】
本题结合圆的半径相等的性质，利用等腰、等边三角形的角度关系计算，属于基础几何题，熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.6

【分析】
要计算⊙O的半径，需结合垂径定理和勾股定理：首先根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，由OE⊥AB可求出AE的长度；再连接半径OA，构造直角三角形OAE，利用勾股定理即可算出OA的长度，也就是圆的半径。
【解析】
连接OA，
∵ OE⊥AB，且OE过圆心O，
∴ 根据垂径定理，AE = ½ AB = ½ ×8 = 4，
在Rt△OAE中，∠OEA=90°，由勾股定理得：
OA² = OE² + AE²，
代入OE=4，AE=4，得：
OA² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32，
∴ OA = √32 = 4√2，即⊙O的半径为4√2，故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，将垂径定理与勾股定理结合应用，思路简单清晰，属于基础题型，主要考查学生对圆的核心性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先，根据垂径定理，OD⊥AC可推出AD=DC；再结合AB是⊙O的直径，利用直径所对圆周角为直角得到∠ACB=90°，进而推出OD//BC，结合O是AB中点，可知OD是△ABC的中位线，即OD=1/2 BC。设⊙O半径为r，由DE=4表示出OD的长度，在Rt△AOD中用勾股定理建立方程求出半径，进而得到OD，最终算出BC的长。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵OD⊥AC，
∴AD=DC（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦），且OD//BC，
又
∵O是AB中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=1/2 BC，AD=1/2 AC=1/2×4√2=2√2。
设⊙O的半径为r，则OA=OE=r，
∵DE=OD + OE=4，
∴OD=4 - r。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA²=OD² + AD²，
即r²=(4 - r)² + (2√2)²，
展开得：r²=16 - 8r + r² + 8，
化简得：8r=24，解得r=3，
∴OD=4 - 3=1，
∴BC=2OD=2×1=2。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理
【点评】
本题综合运用圆的性质与三角形中位线知识，核心是通过勾股定理建立半径与线段的关系，解题关键在于识别中位线和利用垂径定理，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

【分析】要证明$AC=BD$，可通过作辅助线结合垂径定理和等腰三角形的性质推导。过圆心$O$作$OH⊥AB$于$H$，根据垂径定理得$AH=BH$；再由$OC=OD$，利用等腰三角形三线合一得$CH=DH$；最后通过线段差的关系即可证得结论。
【解析】证明：过点$O$作$OH⊥AB$于点$H$，如图所示。
∵ $OH⊥AB$，$O$为圆心，$AB$是$\odot O$的弦，
∴ 根据垂径定理，得$AH = BH$。
又
∵ $OC = OD$，$OH⊥AB$（即$OH⊥CD$），
∴ $△ OCD$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，得$CH = DH$。
∴ $CH - AH = DH - BH$，
即 $AC = BD$。
【答案】5. 如图, 作 $OH ⊥ AB$ 于点 $H$, 则 $AH = BH$. $\because OC = OD$, $OH⊥ AB,\therefore CH=DH$. $\therefore CH-AH=DH-BH$,即$AC=BD$

【知识点】垂径定理、等腰三角形性质
【点评】本题考查垂径定理与等腰三角形三线合一性质的综合应用，辅助线的作法是解题关键，将问题转化为线段和差推导，属于基础几何证明题。
【难度系数】0.6

【分析】
要解决这道题，核心是利用圆的垂径定理和勾股定理。第(1)问要证AC=BD，需过圆心O作AB的垂线，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得到AE=BE、CE=DE，两者相减即可得AC=BD；第(2)问求AC的长，需连接OC、OA，利用勾股定理分别计算出AE和CE的长度，再用AE减去CE得到AC的长度。
【解析】
(1) 证明：过点O作OE⊥AB于点E，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
对于大圆的弦AB，OE⊥AB，故AE=BE；
对于小圆的弦CD，OE⊥CD（AB与CD共线），故CE=DE；
因此AE - CE = BE - DE，即AC=BD，得证。
(2) 解：连接OC、OA，由(1)知OE⊥AB，故△OCE和△OAE均为直角三角形。
已知OE=6，OC=8，OA=10，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
CE = √(OC² - OE²) = √(8² - 6²) = √(64 - 36) = √28 = 2√7；
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
AE = √(OA² - OE²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8；
因此AC = AE - CE = 8 - 2√7。
【答案】
8 - 2√7

【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中弦相关的基础题型，主要考查垂径定理和勾股定理的应用，关键是掌握“过圆心作弦的垂线”这一常用辅助线方法，利用垂径定理得到线段关系，再结合勾股定理计算长度，难度适中，属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.5