第112页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

A

60

 (1) 证明：

 ∵ AB是⊙O的直径，

 ∴ ∠ADB=90°，即AD⊥BD。

又

 ∵ AB=AC，

 ∴ BD=CD。

 (2) 解：

 ∵ AB=AC，

 ∴ ∠B=∠C。

 ∵ ∠B=∠E，

 ∴ ∠E=∠C，

 ∴ CD=DE=4。

由

 (1)知AD⊥BC。

 ∵ CD=4，AC=AB=5，

 ∴ 在Rt△ACD中，由勾股定理，得$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$

C

$(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{4}{3})π$

 解：

(1)

 ∵ 弦DE垂直平分半径OA，

 ∴ $CE=DC=\frac{1}{2}DE=2\sqrt{3}，$$OC=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}OE，$即OE=2OC。

 在Rt△OCE中，由勾股定理，得$OC^2+CE^2=OE^2，$即$OC^2+(2\sqrt{3})^2=(2OC)^2，$解得OC=2（负值舍去）。

 ∴ OE=2OC=4，即⊙O的半径为4。

(2)

 ∵ ∠DPA=45°，DE⊥AO，

 ∴ ∠D=45°。

 ∴ ∠EOF=2∠D=90°。

 设这个圆锥底面圆的半径为r，

 ∴ $2π r=\frac{90π × 4}{180}，$解得r=1，即这个圆锥底面圆的半径为1

【分析】
要解决本题，需结合圆的核心性质、角平分线性质和直角三角形的性质逐步推导：首先利用“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”求出∠ABD的度数，再通过角平分线得到∠CBA的度数，最后根据“直径所对的圆周角为直角”，结合直角三角形两锐角互余求出目标角的度数。
【解析】
1. 已知∠AOD=50°，它是弧AD对应的圆心角，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，弧AD对应的圆周角∠ABD = ½∠AOD = ½×50°=25°。
2. 因为BA平分∠CBD，所以∠CBA = ∠ABD =25°。
3. 由于AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，可得∠ACB=90°。
4. 在Rt△ACB中，直角三角形两锐角互余，因此∠CAB = 90° - ∠CBA =90° -25°=65°。
【答案】
A
【知识点】
圆心角与圆周角关系、直径的圆周角性质、角平分线性质
【点评】
本题综合考查圆的基础性质与直角三角形的性质，解题关键是熟练运用圆心角和圆周角的关系，结合角平分线的条件推导，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决本题，需结合圆内接四边形的性质、菱形的性质以及圆周角定理推导：首先利用圆内接四边形对角互补，明确∠D与∠ABC的关系；再通过菱形四边相等的性质，结合圆半径相等的特点，求出对应圆心角的度数；最后根据圆周角定理，圆周角是同弧所对圆心角的一半，计算出∠D的度数。
【解析】
1. 因为四边形OABC是菱形，所以OA=AB=BC=CO，又OA、OC都是⊙O的半径，故OA=OC，因此OA=AB=OB=OC，即△OAB和△OBC均为等边三角形，可得∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+60°=120°。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠D是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，所以∠D=1/2∠AOC=1/2×120°=60°。
【答案】
60
【知识点】
圆内接四边形性质、圆周角定理、菱形性质
【点评】
本题综合考查多个几何知识点，核心是利用菱形性质推导圆心角度数，再结合圆周角定理求解，需熟练掌握各几何性质的关联，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5

【分析】
第(1)问要证BD=CD，先利用AB是⊙O直径，得直径所对圆周角为直角，推出AD⊥BC；再结合AB=AC，等腰三角形三线合一即可得证。第(2)问求AD长，先通过同弧所对圆周角相等、等腰三角形底角相等，推出CD=DE，再利用(1)中AD⊥BC，在直角三角形ACD中用勾股定理计算AD。
【解析】
(1) 证明：
∵AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。又
∵在△ABC中，AB=AC，等腰三角形底边上的高与中线重合，
∴BD=CD。
(2) 解：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵∠B和∠E都是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，
∴∠B=∠E，
∴∠E=∠C，
∴CD=DE=4。由(1)知AD⊥BC，
∴△ACD是直角三角形，AC=AB=5，CD=4，根据勾股定理，AD=√(AC² - CD²)=√(5² - 4²)=√9=3。
【答案】
3
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题结合圆与等腰三角形的基础性质，考查几何证明和计算，需掌握圆周角定理、等腰三角形三线合一及勾股定理，属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.6

【分析】要计算弧$\overset{\frown}{AB}$的长，需运用弧长公式：弧长$ l = \frac{nπ r}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ r $为扇形半径）。题目中已知圆心角$ ∠AOB = 150° $，扇形半径$ OA = 24 $，直接将对应数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】根据弧长公式$ l = \frac{nπ r}{180} $，将$ n = 150° $，$ r = OA = 24 $代入公式：
$\overset{\frown}{AB}$的长$ = \frac{150 × π × 24}{180} = \frac{3600π}{180} = 20π $，因此答案选C。
【答案】C
【知识点】弧长公式、圆心角与弧长计算
【点评】本题是弧长公式的基础应用题型，仅需牢记弧长公式并准确代入数值计算即可，主要考查学生对基础公式的掌握程度，属于简单计算题。
【难度系数】0.8

【分析】要计算点A经过的路程，需明确点A在滚动过程中形成的弧长，关键是确定每次旋转的中心、旋转半径和旋转角度。首先根据直角三角形的性质求出各边长度，再分析滚动时的两次旋转，分别计算两段弧长后求和。
【解析】在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$BC=1$，因此$AB=2BC=2$，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
$\mathrm{Rt}△ABC$向右滚动时，点A的运动分为两段弧：
1. 第一次旋转：以$A_1$为旋转中心，旋转半径为$AC=\sqrt{3}$，旋转角度为$90°$，弧长$L_1=\frac{90°}{360°} × 2π × \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}π$；
2. 第二次旋转：以$B_2$为旋转中心，旋转半径为$AB=2$，旋转角度为$120°$，弧长$L_2=\frac{120°}{360°} × 2π × 2 = \frac{4}{3}π$；
因此点A经过的总路程为$L_1+L_2=\frac{\sqrt{3}}{2}π + \frac{4}{3}π$。
【答案】$(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{4}{3})π$
【知识点】弧长计算、直角三角形性质、图形旋转
【点评】本题结合直角三角形性质与弧长公式，需准确分析滚动过程中点的旋转路径，确定旋转要素是解题关键，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】0.5

【分析】
第(1)问，由DE垂直平分OA，结合垂径定理得DE被AB平分，且OC与OE的关系，在Rt△OCE中用勾股定理求半径；第(2)问，利用直角三角形的角度关系得∠D，再由圆周角定理得圆心角∠EOF，最后根据扇形弧长等于圆锥底面周长求底面半径。
【解析】
(1)
∵ DE垂直平分半径OA，
∴ CE = DC = $\frac{1}{2}DE = \frac{1}{2}×4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$，且 $OC = \frac{1}{2}OA$。
又
∵ OA = OE（⊙O的半径），
∴ OE = 2OC。
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
$OC^2 + CE^2 = OE^2$，
代入CE=2√3，OE=2OC，得：
$OC^2 + (2\sqrt{3})^2 = (2OC)^2$，
即 $OC^2 + 12 = 4OC^2$，
解得 $OC = 2$（负值舍去），
∴ OE = 2OC = 4，即⊙O的半径为4。
(2)
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DCP = 90°，
又
∵ ∠DPA = 45°，
∴ ∠D = 180° - 90° - 45° = 45°。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠EOF = 2∠D = 2×45° = 90°。
设圆锥底面圆的半径为r，
∵ 扇形OEF的弧长等于圆锥底面圆的周长，
∴ $\frac{90π×4}{180} = 2πr$，
解得 $r = 1$，即圆锥底面圆的半径为1。
【答案】
(1) 4；(2) 1
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、圆锥侧面展开图
【点评】
本题综合考查圆的性质与圆锥的相关计算，需熟练运用垂径定理、圆周角定理，以及扇形弧长与圆锥底面周长的关系，解题时需结合图形分析线段和角度的联系，步骤清晰即可顺利求解。
【难度系数】
0.5