第110页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

$4\sqrt{3}-2π$

B

【分析】
本题需要先利用圆周角定理求出扇形对应的圆心角，再代入扇形面积公式计算阴影部分面积。解题思路：第一步，根据“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，由已知的圆周角∠ABC求出圆心角∠AOC的度数；第二步，将圆心角度数和圆的半径代入扇形面积公式，计算出扇形OAC的面积，从而得出答案。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠ABC=40°，则圆心角∠AOC=2×40°=80°。
扇形面积公式为：$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为圆的半径），将n=80°，r=3代入公式：
$S_{扇形OAC}=\frac{80×π×3^2}{360}=\frac{80×π×9}{360}=2π$
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理、扇形面积计算
【点评】
本题是基础题型，主要考查圆周角定理和扇形面积公式的应用，解题关键是先确定圆心角的度数，再代入公式计算，整体难度较低。
【难度系数】
0.3

【分析】首先观察图形，涂色部分是不规则图形，可通过割补法转化为规则图形的面积差：涂色部分面积等于正三角形ABC的面积减去三个圆心角为60°、半径为2的扇形的面积之和。利用正三角形的性质和扇形面积公式计算即可，其中三个扇形的圆心角总和为180°，可简化扇形面积的计算。
【解析】连接AD，因为△ABC是正三角形，边长为4，D是BC中点，所以AD⊥BC，BD=2。根据勾股定理，AD=√(AB² - BD²)=√(4² - 2²)=2√3，因此正三角形ABC的面积为$\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。又因为正三角形每个内角为60°，三个扇形（以A、B、C为圆心，半径2）的圆心角总和为60°×3=180°，所以三个扇形的总面积为$\frac{180°}{360°}×π×2^2=2π$。因此，涂色部分面积$S_{涂色部分}=S_{△ABC}-3S_{扇形}=4\sqrt{3}-2π$。
【答案】$4\sqrt{3}-2π$
【知识点】正三角形面积、扇形面积计算、割补法求面积
【点评】本题采用割补法将不规则图形面积转化为规则图形的面积差，关键在于发现三个扇形的圆心角之和为180°，简化了计算过程，需要掌握正三角形的性质和扇形面积公式，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】0.6

【分析】
要计算阴影部分的面积，首先添加辅助线OC，利用已知的垂直关系和CD=CE判定四边形OECD为正方形，进而得到∠COE的度数；再通过等积变换，将阴影部分的面积转化为扇形OCB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
1. 连接OC，因为CD⊥OA，CE⊥OB，∠AOB=90°，所以四边形OECD的三个角为直角，故四边形OECD是矩形。
2. 又因为CD=CE，邻边相等的矩形是正方形，因此矩形OECD为正方形，可得OC平分∠AOB，即∠COE = ½∠AOB = ½×90° = 45°。
3. 观察阴影部分，△DCE与△OEC同底（CE为底），且正方形OECD中OD=OE，即两者的高相等，所以$ S_{△ DCE} = S_{△ OEC} $。因此阴影部分的面积 = $ S_{△ DCE} + S_{扇形BCE} = S_{△ OEC} + S_{扇形BCE} = S_{扇形OCB} $。
4. 根据扇形面积公式 $ S = \frac{nπ r^2}{360} $（其中n为圆心角度数，r为半径），代入n=45°，r=5，得：
$ S_{扇形OCB} = \frac{45π × 5^2}{360} = \frac{25π}{8} $
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算、正方形判定、等积变换
【点评】
本题通过辅助线的添加，将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，考查了几何图形的性质与面积计算，关键在于利用正方形的性质和等积变换简化计算，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.6