第109页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

$\frac{16π}{9}$

 解：

 (1) 设圆心为点$O，$连接$OA，$$OB，$$OC。$

 $\because OA=OC=OB，$$AB=AC，$

 $\therefore △ ABO≌△ ACO。$

 又$\because ∠ BAC=120°，$

 $\therefore ∠ BAO=∠ CAO=60°。$

 $\therefore △ ABO$为等边三角形。

 $\therefore AB=OA=1。$

 $\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=π×1^2-\frac{120π×1^2}{360}=π-\frac{π}{3}=\frac{2}{3}π。$

 (2) 设该圆锥底面圆的半径为$r，$则$\frac{120π×1}{180}=2π r，$

 解得$r=\frac{1}{3}，$即该圆锥底面圆的半径是$\frac{1}{3}。$

 解：设圆锥的高为$h\ \mathrm{cm}，$底面圆的半径为$r\ \mathrm{cm}，$母线$AC$长为$l\ \mathrm{cm}。$

 (1) 由题意，得$\frac{180π l}{180}=2π r，$

 $\therefore \frac{l}{r}=2，$即圆锥的母线长与底面圆的半径的比值为$2。$

 (2) $\because \frac{l}{r}=2，$

 $\therefore$ 易得圆锥的高与母线的夹角为$30°。$

 $\because AB=AC，$$AO⊥ BC，$

 $\therefore ∠ BAC=2×30°=60°。$

 (3) 由题意，可知$l^2=h^2+r^2。$

 又$\because \frac{l}{r}=2，$$h=3\sqrt{3}，$

 $\therefore (2r)^2=(3\sqrt{3})^2+r^2，$解得$r=3$（负值舍去）。

 $\therefore l=2r=6。$

 $\therefore$ 圆锥的侧面积为$\frac{180π l^2}{360}=18π\ \mathrm{cm^2}。$

 解：

 (1) 设$∠ BAC=α。$根据题意，得$\overset{\frown}{EF}$的长就是圆锥底面圆的周长，

 $\therefore \frac{α}{180°}×π× AD=ED×π。$

 又$\because ED:AD=1:2，$

 $\therefore AD=2ED。$

 $\therefore α=90°，$即$∠ BAC=90°。$

 (2) $\because$ 圆锥底面圆的直径$ED$为$5\ \mathrm{cm}，$

 $\therefore AD=2ED=10\ \mathrm{cm}。$

 $\because ∠ BAC=90°，$$AB=AC，$

 $\therefore △ ABC$是等腰直角三角形。

 $\because AD⊥ BC，$

 $\therefore$ 易得$BC=2AD=20\ \mathrm{cm}。$

 $\therefore S_{\mathrm{涂色部分}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{1}{2}BC· AD-\frac{90π× AD^2}{360}=\frac{1}{2}×20×10-\frac{90π×10^2}{360}=(100-25π)\ \mathrm{cm^2}。$

【分析】
要解决这个问题，需利用圆锥的核心性质：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面小圆的周长。先设小圆半径为$r$，根据“小圆的直径是大圆的半径”确定大圆半径，再通过弧长公式和圆周长公式建立等式，求出扇形的圆心角，最后对应选项即可。
【解析】
设小圆半径为$r$，则小圆直径为$2r$，由题意得大圆半径$R = 2r$。
1. 计算小圆（圆锥底面）的周长：$C_{底}=2π r$；
2. 圆锥侧面是扇形，扇形弧长需等于底面小圆的周长。设扇形的圆心角为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入$R=2r$，得扇形弧长：$l=\frac{nπ · 2r}{180}$；
3. 令弧长等于底面周长，列方程：
$\frac{2nπ r}{180}=2π r$，两边同时除以$π r$，化简得$\frac{2n}{180}=2$，解得$n=180°$。
因此，扇形的圆心角应为$180°$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长计算
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图与底面的关系，核心是利用“扇形弧长=底面圆周长”的性质，通过公式推导圆心角，属于基础应用类题目，需牢记圆锥的相关性质。
【难度系数】
0.5

【分析】
要计算圆锥粘贴部分的面积，需利用圆锥侧面展开图（扇形）与圆锥的关系：圆锥底面周长等于侧面扇形的弧长。步骤如下：1. 先计算圆锥底面圆的周长；2. 根据弧长公式求出制作圆锥侧面的扇形弧对应的圆心角；3. 用原扇形的圆心角减去该圆心角，得到粘贴部分的圆心角；4. 利用扇形面积公式计算粘贴部分的面积。
【解析】
1. 计算圆锥底面圆的周长：已知圆锥底面半径为2 cm，根据圆的周长公式 $ C = 2π r $，得底面周长为 $ 2π × 2 = 4π \, \mathrm{cm} $。
2. 求侧面扇形弧对应的圆心角：设该弧对应的圆心角为 $ n° $，扇形半径 $ R = 8 \, \mathrm{cm} $，根据弧长公式 $ l = \frac{nπ R}{180} $，代入 $ l = 4π $，得 $ \frac{nπ × 8}{180} = 4π $，两边约去 $ π $，解得 $ n = 90 $。
3. 求粘贴部分的圆心角：原扇形圆心角为 $ 100° $，故粘贴部分的圆心角为 $ 100° - 90° = 10° $。
4. 计算粘贴部分的面积：根据扇形面积公式 $ S = \frac{nπ R^2}{360} $，代入 $ n = 10 $，$ R = 8 $，得 $ S = \frac{10π × 8^2}{360} = \frac{10π × 64}{360} = \frac{16π}{9} \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
$\dfrac{16π}{9}$
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长公式、扇形面积公式
【点评】
本题结合圆锥侧面展开图考查弧长与扇形面积的计算，核心是利用“圆锥底面周长等于侧面扇形弧长”的关系，公式应用清晰，属于基础题型，需掌握圆锥与展开图的对应关系。
【难度系数】
0.5

【分析】
本题分为两小问，第(1)问求阴影部分面积，思路是用整个圆形铁皮的面积减去扇形ABC的面积，需先确定圆形半径和扇形半径；第(2)问求圆锥底面半径，关键利用“扇形弧长等于圆锥底面圆周长”的关系求解。首先，圆形铁皮直径为2，故半径为1；再通过角度和三角形性质确定扇形ABC的半径也为1，进而计算相关面积和弧长。
【解析】
(1) 设圆形铁皮的圆心为点O，连接OA、OB、OC。
∵ OA=OB=OC（圆的半径相等），AB=AC，AO为公共边，
∴ △ABO≌△ACO（SSS）。
又
∵ ∠BAC=120°，
∴ ∠BAO=∠CAO=60°，结合OA=OB，可知△ABO为等边三角形，
∴ AB=OA=1（圆的半径为2÷2=1）。
圆形面积：$S_{圆}=π×1^2=π$，
扇形ABC的面积：$S_{扇形}=\frac{120°}{360°}×π×1^2=\frac{π}{3}$，
因此阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{圆}-S_{扇形}=π-\frac{π}{3}=\frac{2}{3}π$。
(2) 设圆锥底面圆的半径为$r$，
扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，
扇形弧长：$l=\frac{120π×1}{180}=\frac{2π}{3}$，
圆锥底面周长：$2πr=\frac{2π}{3}$，
解得$r=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 被剪掉的阴影部分面积为$\dfrac{2}{3}π$；
(2) 该圆锥底面圆的半径是$\dfrac{1}{3}$。
【知识点】
圆的面积、扇形面积、圆锥的相关计算
【点评】
本题结合圆与扇形的性质，考查阴影面积计算及圆锥与扇形的关系，核心是确定扇形半径，利用弧长与底面周长的等量关系求解，属于基础几何应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5

【分析】
本题围绕圆锥的相关计算展开，核心是利用圆锥侧面展开图（半圆）的弧长等于底面圆周长这一关键关系，结合勾股定理、等腰三角形性质逐步解题：首先通过弧长与周长的等式求出母线长和底面半径的比值；再利用直角三角形的三角函数值得到高与母线的夹角，结合等腰三角形三线合一求出∠BAC；最后结合已知高的长度，用勾股定理求出底面半径和母线长，代入侧面积公式计算结果。
【解析】
设圆锥的底面半径为$ r \ \mathrm{cm} $，母线长为$ l \ \mathrm{cm} $，高$ AO = h = 3\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
(1) 圆锥侧面展开图是半圆，半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，因此：
半圆的弧长为$ \frac{180π l}{180} = π l $，底面圆周长为$ 2π r $，
故$ π l = 2π r $，约去$ π $得$ l = 2r $，因此母线长与底面圆半径的比值为$ \frac{l}{r} = 2 $。
(2) 在$ \mathrm{Rt}△ AOC $中，$ AO ⊥ OC $，$ AC = l = 2r $，$ OC = r $，
则$ \cos∠ OAC = \frac{OC}{AC} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2} $，所以$ ∠ OAC = 30° $。
又因为$ AB = AC $，$ AO ⊥ BC $，根据等腰三角形三线合一，$ AO $平分$ ∠ BAC $，
因此$ ∠ BAC = 2∠ OAC = 60° $。
(3) 根据圆锥中母线、高、底面半径的勾股关系$ l^2 = h^2 + r^2 $，将$ l = 2r $、$ h = 3\sqrt{3} $代入得：
$ (2r)^2 = (3\sqrt{3})^2 + r^2 $，即$ 4r^2 = 27 + r^2 $，
移项化简得$ 3r^2 = 27 $，解得$ r = 3 $（$ r ＞ 0 $，舍去负值），则$ l = 2r = 6 $。
圆锥的侧面积为侧面展开图（半圆）的面积，即$ S_{侧} = \frac{180π l^2}{360} = \frac{1}{2}π × 6^2 = 18π \ (\mathrm{cm}^2) $。
【答案】
(1) $ 2 $；(2) $ 60° $；(3) $ 18π \ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
圆锥侧面积、圆锥展开图、勾股定理
【点评】
本题是圆锥的综合计算题，重点考查圆锥侧面展开图与底面圆的对应关系，结合直角三角形性质和等腰三角形性质求解，需熟练掌握圆锥的基本公式，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决本题，需利用圆锥侧面展开图的性质：圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。第(1)问设顶角∠BAC为α，根据弧长公式和圆周长公式，结合ED与AD的长度关系建立等式，即可求出α；第(2)问先根据ED的长度求出AD，再利用等腰直角三角形的性质求出△ABC的面积，减去扇形AEF的面积，得到涂色部分面积。
【解析】
(1) 设∠BAC=α。
因为扇形AEF是圆锥的侧面，所以$\overset{\frown}{EF}$的长等于圆锥底面圆的周长。
根据弧长公式，$\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{απ·AD}{180°}$；圆锥底面圆的周长为$π·ED$。
因此有：$\frac{απ·AD}{180°}=π·ED$。
已知$ED:AD=1:2$，即$AD=2ED$，代入上式得：
$\frac{απ·2ED}{180°}=π·ED$，两边约去$π·ED$，得$\frac{2α}{180°}=1$，解得$α=90°$，即∠BAC=90°。
(2) 已知圆锥底面圆直径$ED=5\ \mathrm{cm}$，由$AD=2ED$得$AD=10\ \mathrm{cm}$。
因为$AB=AC$，∠BAC=90°，$AD⊥BC$，所以△ABC是等腰直角三角形，AD是斜边BC上的高，故$BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$。
△ABC的面积为：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·BC·AD=\frac{1}{2}×20×10=100\ \mathrm{cm}^2$。
扇形AEF的面积为：$S_{扇形AEF}=\frac{90°·π·AD^2}{360°}=\frac{90°×π×10^2}{360°}=25π\ \mathrm{cm}^2$。
所以涂色部分面积为：$S_{涂色}=S_{△ABC}-S_{扇形AEF}=100 - 25π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $∠BAC=90°$；(2) $(100 - 25π)\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长公式、扇形面积公式、等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合实际生活中的冰激凌包装问题，考查圆锥侧面展开图与底面的关系，以及几何图形面积的计算，核心是掌握圆锥侧面展开弧长等于底面周长的知识点，难度适中，属于中等题。
【难度系数】
0.5