第108页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

B

D

$90°$

$240π$

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

 解：设该圆锥底面圆的半径为$r\ \mathrm{cm}。$过点$O$作$OD⊥ AB，$垂足为$D。$

 $\because OA=OB，$$∠ AOB=120°，$

 $\therefore AD=BD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}，$$∠ OAD=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°。$

 $\therefore OD=\frac{1}{2}OA。$

 由勾股定理，得$AD^2+OD^2=OA^2，$即$(\sqrt{3})^2+(\frac{1}{2}OA)^2=OA^2。$

 $\therefore OA=2\ \mathrm{cm}。$

 $\therefore 2π r=\frac{120π×2}{180}，$解得$r=\frac{2}{3}。$

 $\therefore$ 该圆锥底面圆的半径为$\frac{2}{3}\ \mathrm{cm}。$

【分析】
要解决本题，需明确：扇形纸片的半径等于圆锥的母线长。解题思路为：①先根据圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径；②利用圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，结合勾股定理计算出母线长，即扇形的半径。
【解析】
1. 计算圆锥底面圆的半径：
已知底面圆的周长$ C = 6π \, \mathrm{cm} $，由圆的周长公式$ C = 2π r $，可得底面半径$ r = \frac{C}{2π} = \frac{6π}{2π} = 3 \, \mathrm{cm} $。
2. 计算扇形的半径（即圆锥的母线长）：
圆锥的高$ h = 4 \, \mathrm{cm} $，圆锥的母线$ l $、底面半径$ r $、高$ h $构成直角三角形，根据勾股定理：
$ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \mathrm{cm} $。
因此，该扇形纸片的半径为5cm，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥的侧面展开图、勾股定理
【点评】
本题考查圆锥的基本性质，核心是掌握圆锥底面周长与侧面展开扇形弧长的关系，以及母线、高、底面半径的勾股定理关系，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

【分析】这道题是求制作遮阳伞所需的布料面积，由于遮阳伞可视作圆锥，且不需要底面，因此实际是求圆锥的侧面积。解题时需回忆圆锥侧面积的计算公式，找到题目给出的底面半径和母线长，代入公式计算即可。
【解析】圆锥的侧面积公式为 $ S = π r l $（其中 $ r $ 是底面圆的半径，$ l $ 是圆锥的母线长）。本题中，底面半径 $ r = 1 \, \mathrm{m} $，母线长 $ l = 2 \, \mathrm{m} $，将数值代入公式得：$ S = π × 1 × 2 = 2π \, \mathrm{m}^2 $，因此制作这把遮阳伞至少需要用布料 $ 2π \, \mathrm{m}^2 $，对应选项B。
【答案】B
【知识点】圆锥侧面积计算
【点评】本题考查圆锥侧面积公式的实际应用，属于基础题，核心是明确遮阳伞的用料为圆锥侧面积，直接套用公式即可快速求解。
【难度系数】0.7

【分析】
要解决这个问题，需利用“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”的关系。首先根据网格确定扇形的半径和圆心角，计算扇形弧长，再通过弧长与底面周长的等式求出底面圆半径。步骤为：1. 用勾股定理求扇形半径；2. 确定扇形圆心角；3. 计算扇形弧长；4. 利用周长公式求底面半径。
【解析】
1. 求扇形半径：小正方形方格边长为2 cm，由网格可知，OA的水平距离为2格，即$2×2=4\ \mathrm{cm}$，垂直距离为2格，即$4\ \mathrm{cm}$。根据勾股定理，扇形半径$OA=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
2. 确定扇形圆心角：观察图形，扇形OAB的圆心角为$360° - 90°=270°$。
3. 计算扇形弧长：根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数，$R$为半径），代入$n=270°$，$R=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，得弧长$l=\frac{270×π×4\sqrt{2}}{180}=6\sqrt{2}π\ \mathrm{cm}$。
4. 求圆锥底面半径：设底面圆半径为$r$，圆锥底面周长等于扇形弧长，即$2π r=6\sqrt{2}π$，解得$r=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长计算、圆的周长
【点评】
本题结合网格考查圆锥侧面展开图的计算，核心是明确弧长与底面周长的等量关系，需准确判断扇形的圆心角，难度中等。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决这个问题，需明确圆锥侧面积与侧面展开图（扇形）的对应关系：圆锥侧面积公式为$ S_{侧} = π r l $（$ r $为底面半径，$ l $为母线长），且圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，扇形弧长公式为$ l_{弧} = \frac{nπ l}{180} $（$ n $为扇形圆心角）。解题思路为：①先利用侧面积公式求出圆锥的母线长；②再根据底面周长等于侧面展开图的弧长，结合弧长公式求出圆心角。
【解析】
1. 求圆锥的母线长$ l $：
已知圆锥底面半径$ r=3 $，侧面积$ S_{侧}=36π $，根据圆锥侧面积公式$ S_{侧} = π r l $，代入得：
$ 36π = π × 3 × l $
两边同时除以$ π $，得$ 36 = 3l $，解得$ l=12 $。
2. 求侧面展开图的圆心角$ n $：
圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，底面周长为$ C=2π r = 2π × 3 = 6π $。
扇形弧长公式为$ C = \frac{nπ l}{180} $，将$ C=6π $、$ l=12 $代入得：
$ 6π = \frac{nπ × 12}{180} $
两边同时除以$ π $，得$ 6 = \frac{12n}{180} $
化简得$ 12n = 6 × 180 = 1080 $，解得$ n=90 $。
【答案】
90°
【知识点】
圆锥侧面积、扇形弧长公式
【点评】
本题为教材变式题，核心考查圆锥与侧面展开图的对应关系，需牢记侧面积、弧长公式，理清各量的联系，属于基础计算类题目，难度适中。
【难度系数】
0.7

【分析】要解决这个问题，需明确：做成圆锥帽子后，圆锥底面圆的周长等于扇形纸板的弧长。因此先计算圆锥底面圆的周长（即扇形的弧长），再利用扇形面积公式计算扇形面积即可。
【解析】
1. 计算圆锥底面圆的周长：已知圆锥底面半径为8cm，根据圆的周长公式 $ C = 2π r $，可得底面周长 $ C = 2π × 8 = 16π \, \mathrm{cm} $，此周长即为扇形纸板的弧长 $ l = 16π \, \mathrm{cm} $。
2. 计算扇形面积：已知扇形半径 $ R = 30 \, \mathrm{cm} $，根据扇形面积公式 $ S = \frac{1}{2} l R $，代入数值计算得：
$ S = \frac{1}{2} × 16π × 30 = 240π \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】240π
【知识点】扇形面积计算、圆锥与扇形的关系
【点评】本题考查圆锥与扇形的联系，核心是利用“圆锥底面周长等于对应扇形弧长”的关系，结合扇形面积公式求解，属于基础题型。
【难度系数】0.6

【分析】
要解决该问题，需先确定扇形ABC的半径，再计算扇形弧长，最后利用圆锥底面周长等于扇形弧长的关系求出底面半径r。步骤如下：1. 根据圆形铁皮直径得圆半径，结合圆周角性质确定扇形ABC的半径；2. 用弧长公式计算扇形弧长；3. 利用圆锥底面周长与扇形弧长的等量关系求解r。
【解析】
1. 圆形铁皮直径为2 dm，故其半径为1 dm。因为∠BAC=60°，AB=AC，所以△ABC是等边三角形。连接OA、OB，OA=OB=1 dm，由圆周角定理得弧BC对应的圆心角∠BOC=120°，则扇形ABC的半径AB（弦长）为：$ AB=2× OA×\sin60°=2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\ \mathrm{dm} $。
2. 计算扇形ABC的弧长：根据弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $（n=60°，R=√3），得弧长$ l=\frac{60π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{3}\ \mathrm{dm} $。
3. 圆锥底面圆的周长等于扇形弧长，设底面半径为r，则底面周长为$ 2π r $，因此$ 2π r=\frac{\sqrt{3}π}{3} $，两边约去π后解得$ r=\frac{\sqrt{3}}{6}\ \mathrm{dm} $。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长计算、圆周角定理
【点评】
本题结合圆的性质与圆锥的计算，核心是利用扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，需熟练掌握弦长、弧长公式及圆周角定理的应用，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决该问题，需分两步：①先求扇形的半径OA：利用等腰三角形三线合一和直角三角形的性质，结合勾股定理，由已知的圆心角和弦长求出扇形半径；②利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长的关系，通过弧长公式和圆周长公式建立等式，求解底面圆半径。
【解析】
解：设该圆锥底面圆的半径为$ r \ \mathrm{cm} $，过点$ O $作$ OD ⊥ AB $，垂足为$ D $。
因为$ OA = OB $，$ ∠ AOB = 120° $，根据等腰三角形三线合一的性质：
$ AD = BD = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \ \mathrm{cm} $，
$ ∠ OAD = \dfrac{1}{2}(180° - 120°) = 30° $，
所以在$ \mathrm{Rt}△ AOD $中，$ OD = \dfrac{1}{2}OA $。
由勾股定理得：$ AD^2 + OD^2 = OA^2 $，
代入得：$ (\sqrt{3})^2 + ( \dfrac{1}{2}OA )^2 = OA^2 $，
计算得：$ 3 + \dfrac{1}{4}OA^2 = OA^2 $，
整理得：$ \dfrac{3}{4}OA^2 = 3 $，解得$ OA = 2 \ \mathrm{cm} $（半径为正数，舍去负解）。
扇形的弧长公式为$ l = \dfrac{nπ R}{180} $（$ n $为圆心角度数，$ R $为扇形半径），则该扇形的弧长为：
$ l = \dfrac{120π × 2}{180} = \dfrac{4π}{3} \ \mathrm{cm} $。
因为该扇形围成圆锥的侧面，所以扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，即$ 2π r = \dfrac{4π}{3} $，
两边同时除以$ 2π $，解得$ r = \dfrac{2}{3} \ \mathrm{cm} $。
【答案】
$\dfrac{2}{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
弧长计算；圆锥侧面展开；等腰三角形性质
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的基础计算，核心是掌握“扇形弧长等于圆锥底面圆周长”的关系，结合等腰三角形和勾股定理求扇形半径，属于基础题型，需熟练应用相关公式。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这个问题，需利用圆锥的核心性质：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面小圆的周长。先设小圆半径为$r$，根据“小圆的直径是大圆的半径”确定大圆半径，再通过弧长公式和圆周长公式建立等式，求出扇形的圆心角，最后对应选项即可。
【解析】
设小圆半径为$r$，则小圆直径为$2r$，由题意得大圆半径$R = 2r$。
1. 计算小圆（圆锥底面）的周长：$C_{底}=2π r$；
2. 圆锥侧面是扇形，扇形弧长需等于底面小圆的周长。设扇形的圆心角为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入$R=2r$，得扇形弧长：$l=\frac{nπ · 2r}{180}$；
3. 令弧长等于底面周长，列方程：
$\frac{2nπ r}{180}=2π r$，两边同时除以$π r$，化简得$\frac{2n}{180}=2$，解得$n=180°$。
因此，扇形的圆心角应为$180°$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长计算
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图与底面的关系，核心是利用“扇形弧长=底面圆周长”的性质，通过公式推导圆心角，属于基础应用类题目，需牢记圆锥的相关性质。
【难度系数】
0.5