第91页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

 解：

 (1) 四边形$AFHE$是正方形，理由如下：

 $\because \mathrm{Rt}△ ABE$绕点$A$按逆时针方向旋转$90°$得到$\mathrm{Rt}△ ADF，$

 $\therefore \mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ ADF。$

 $\therefore ∠ AEB = ∠ AFD = 90°，$

 $\therefore ∠ AFH = 90°。$

 $\because \mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ ADF，$

 $\therefore AE = AF，$$∠ BAE = ∠ DAF。$

 又$\because ∠ DAF + ∠ FAB = 90°，$

 $\therefore ∠ BAE + ∠ FAB = 90°，$即$∠ FAE = 90°。$

 在四边形$AFHE$中，$∠ FAE = 90°，$$∠ AEH = 90°，$$∠ AFH = 90°，$

 $\therefore$ 四边形$AFHE$是矩形。

 又$\because AE = AF，$

 $\therefore$ 四边形$AFHE$是正方形。

 (2) 设$AE = x，$由

 (1)得$AE = EH = FH = x，$

 $\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore BC = AB = 13。$

 在$\mathrm{Rt}△ AEB$中，由勾股定理得$AB^2 = AE^2 + BE^2，$

 即$13^2 = x^2 + (x+7)^2，$

 解得$x_1 = 5，$$x_2 = -12$（不合题意，舍去）。

 $\therefore EH = FH = 5，$

 $\therefore BE = BH + EH = 7 + 5 = 12。$

 $\because \mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ ADF，$

 $\therefore DF = BE = 12，$

 $\therefore DH = DF + FH = 12 + 5 = 17。$

 解：

 (1) 证明：

 $\because △ ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$100°$得到$△ ADE，$

 $\therefore ∠ BAC = ∠ DAE = 40°，$$∠ BAD = ∠ CAE = 100°。$

 又$\because AB = AC，$

 $\therefore AB = AC = AD = AE。$

 在$△ ABD$和$△ ACE$中，

 $\begin{cases} AB = AC \\ ∠ BAD = ∠ CAE \\ AD = AE \end{cases}$

 $\therefore △ ABD ≌ △ ACE。$

 (2) 四边形$ABFE$是菱形，理由如下：

 $\because ∠ BAD = ∠ CAE = 100°，$$AB = AC = AD = AE，$

 $\therefore ∠ ABD = ∠ ADB = ∠ ACE = ∠ AEC = 40°。$

 $\because ∠ BAE = ∠ BAD + ∠ DAE = 140°，$

 $\therefore ∠ BFE = 360° - ∠ BAE - ∠ ABD - ∠ AEC = 140°，$

 $\therefore ∠ BAE = ∠ BFE。$

 $\therefore$ 四边形$ABFE$是平行四边形。

 又$\because AB = AE，$

 $\therefore$ 平行四边形$ABFE$是菱形。

D

$2\sqrt{5}$

$-1 ＜ m ＜ 4$

C

【分析】
要解决本题，需利用旋转的性质得到三角形全等，结合正方形的判定条件判断四边形形状；第二问通过设未知数，结合勾股定理建立方程求解，进而计算DH的长度。具体思路：(1) 由旋转得△ABE≌△ADF，推出对应角、边的关系，证明四边形AFHE的三个角为直角且邻边相等，判定其为正方形；(2) 设AE=x，利用正方形性质得EH=x，结合BH=7表示出BE，在Rt△ABE中用勾股定理列方程求出x，再利用全等三角形对应边相等得DF=BE，最终计算DH的长度。
【解析】
(1) 四边形AFHE是正方形，理由如下：
∵ Rt△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°得到Rt△ADF，
∴ Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴ ∠AEB=∠AFD=90°，AE=AF，∠BAE=∠DAF，
∴ ∠AFH=180°-∠AFD=90°，
又
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠DAB=90°，即∠DAF+∠FAB=90°，
∴ ∠BAE+∠FAB=90°，即∠FAE=90°，
在四边形AFHE中，∠FAE=90°，∠AEH=90°，∠AFH=90°，
∴ 四边形AFHE是矩形，
又
∵ AE=AF，
∴ 矩形AFHE是正方形。
(2) 设AE=x，
由(1)知四边形AFHE是正方形，
∴ EH=AE=x，
∵ BH=7，
∴ BE=BH+EH=7+x，
∵ 正方形ABCD中，BC=AB=13，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB²=AE²+BE²，
即13²=x²+(x+7)²，
整理得：x²+7x-60=0，
解得x₁=5，x₂=-12（边长为正，舍去），
∴ EH=FH=5，
∵ Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴ DF=BE=7+5=12，
∴ DH=DF+FH=12+5=17。
【答案】
(1) 四边形AFHE是正方形；(2) DH的长为17。
【知识点】
正方形的判定、旋转的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查旋转的性质、正方形的判定及勾股定理的应用，解题核心是利用旋转得到全等三角形，结合正方形判定条件推导，再通过勾股定理建立方程求解，是典型的几何综合题，需掌握相关性质定理的灵活运用。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这道题，首先利用旋转的性质得到对应边、对应角的关系，结合全等三角形的判定定理证明△ABD≌△ACE；对于四边形ABFE的形状，先通过角度推导证明四边形是平行四边形，再结合邻边相等的条件判定为菱形。具体步骤：
1. 第(1)问：根据旋转性质，△ABC旋转得到△ADE，可得AB=AC=AD=AE，旋转角∠BAD=∠CAE=100°，用SAS判定△ABD与△ACE全等。
2. 第(2)问：先利用等腰三角形性质求出相关角度，通过角度关系证明两组对边平行，得到平行四边形，再由AB=AE，判定为菱形。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC绕点A逆时针旋转100°得到△ADE，
∴ ∠BAC=∠DAE=40°，∠BAD=∠CAE=100°，且AB=AC，AD=AE，
∴ AB=AC=AD=AE。
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases}AB=AC, \\∠BAD=∠CAE, \\AD=AE,\end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE（SAS）。
(2) 四边形ABFE是菱形，理由如下：
由(1)知AB=AC=AD=AE，∠BAD=∠CAE=100°，
∴ △ABD和△ACE均为等腰三角形，
∴ ∠ABD=∠ADB=$\frac{180°-100°}{2}$=40°，∠ACE=∠AEC=40°。
又
∵ ∠BAE=∠BAD + ∠DAE=100°+40°=140°，
∴ ∠BFE=360° - ∠BAE - ∠ABD - ∠AEC=360°-140°-40°-40°=140°，
∴ ∠BAE=∠BFE，结合∠ABD=∠AEC=40°，可得AB//EF，AE//BF（同旁内角互补，两直线平行），
∴ 四边形ABFE是平行四边形。
又
∵ AB=AE，
∴ 平行四边形ABFE是菱形。
【答案】
(1) △ABD≌△ACE，证明如上；(2) 四边形ABFE是菱形，理由如上。
【知识点】
旋转的性质、全等三角形的判定、菱形的判定
【点评】
本题结合旋转的性质，综合考查全等三角形判定与菱形的判定，需熟练掌握旋转前后图形的对应关系，以及等腰三角形、平行四边形、菱形的性质，是一道几何综合性题目，解题关键在于角度与边的关系推导。
【难度系数】
0.6

【分析】要判断中心对称图形，需牢记定义：在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形与原图形完全重合，该图形就是中心对称图形。接下来对四个选项的图形分别进行旋转180°的验证，看是否符合该特征，从而确定答案。
【解析】根据中心对称图形的定义分析各选项：
A选项：将图形绕圆心旋转180°后，图形中的月亮、房屋、草等元素的位置与原图形不重合，不是中心对称图形；
B选项：将图形绕圆心旋转180°后，飞鸟、云朵的位置与原图形不重合，不是中心对称图形；
C选项：将图形绕圆心旋转180°后，太阳、水纹的位置与原图形不重合，不是中心对称图形；
D选项：将图形绕圆心旋转180°后，雪花的各部分与原图形完全重合，是中心对称图形。
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【点评】本题结合二十四节气的传统文化情境，考查中心对称图形的判定，核心是掌握中心对称图形的定义，通过旋转验证即可解题，属于基础题。
【难度系数】0.3

【分析】
要解决这个问题，我们可以通过建立平面直角坐标系，利用坐标法计算线段长度。首先确定矩形各顶点坐标，再根据矩形对称中心的性质找到点O的坐标，结合已知条件确定E、F的坐标，最后用两点间距离公式分别计算OE和OF的长度，求和得到结果。
【解析】
步骤1：建立平面直角坐标系，设矩形ABCD的顶点坐标为：A(0,4)，B(0,0)，C(6,0)，D(6,4)。
步骤2：确定矩形对称中心O的坐标：矩形的对称中心是对角线的中点，AC的中点O的坐标为$(\frac{0+6}{2},\frac{4+0}{2})=(3,2)$。
步骤3：确定点E、F的坐标：
E在AD上，AE=2，AD为从A(0,4)到D(6,4)的线段，故E的坐标为(2,4)；
F在BC上，BF=2，BC为从B(0,0)到C(6,0)的线段，故F的坐标为(2,0)。
步骤4：用两点间距离公式计算OE和OF：
$OE=\sqrt{(3-2)^2+(2-4)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$；
$OF=\sqrt{(3-2)^2+(2-0)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$；
步骤5：求和得$OE+OF=\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
矩形的性质、两点间距离公式
【点评】
本题通过坐标法简化了线段长度的计算，利用矩形对称中心的性质确定关键点坐标，结合两点间距离公式求解，思路清晰，计算简便，是几何计算中常用的方法。
【难度系数】
0.5

【分析】首先明确关于原点对称的点的坐标规律：点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$；再结合第三象限内点的坐标特征：横、纵坐标均为负数，据此列出关于$m$的不等式组，解不等式组即可得到$m$的取值范围。
【解析】点$P(m+1,8-2m)$关于原点的对称点$Q$的坐标为$(-(m+1), -(8-2m))$，即$Q(-m-1,2m-8)$。因为$Q$在第三象限，所以第三象限点的横、纵坐标都小于0，可得不等式组：
$\begin{cases} -m -1 ＜ 0 \\ 2m - 8 ＜ 0 \end{cases}$
解第一个不等式：$-m -1 ＜ 0$，移项得$-m ＜1$，两边同乘$-1$（不等号方向改变）得$m ＞ -1$；
解第二个不等式：$2m -8 ＜0$，移项得$2m ＜8$，两边同除以2得$m ＜4$；
所以不等式组的解集为$-1 ＜ m ＜4$。
【答案】$-1＜m＜4$
【知识点】关于原点对称的点的坐标、象限内点的坐标特征、一元一次不等式组的解法
【点评】本题结合对称点坐标特征与象限内点的坐标特点，考查不等式组的解法，关键是准确列出不等式组，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】0.6

【分析】要判断一个图形是否为中心对称图形，需依据定义：在平面内，将图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形完全重合，则该图形为中心对称图形。我们对每个选项逐一进行旋转180°后的图形对比，即可得出答案。
【解析】根据中心对称图形的定义：
1. 选项A：将其绕某点旋转180°后，黑白棋子的位置与原图形无法重合，不是中心对称图形；
2. 选项B：将其绕某点旋转180°后，黑白棋子的位置与原图形无法重合，不是中心对称图形；
3. 选项C：将其绕图形的中心旋转180°后，旋转后的图形与原图形完全重合，是中心对称图形；
4. 选项D：将其绕某点旋转180°后，黑白棋子的位置与原图形无法重合，不是中心对称图形。
综上，答案为C。
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【点评】本题考查中心对称图形的判定，核心是掌握中心对称图形的定义，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】0.7