第92页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

B

$24°$

$2\sqrt{5}$

 解：

 (1) 分别作出点$A,B,C$绕原点$O$旋转$180°$的对应点$A_1(0,-4)，$$B_1(0,-2)，$$C_1(-3,-2)，$依次连接三点，$△ A_1B_1C_1$即为所求作的图形。

 (2) 由$A(0,4)$平移到$A_2(2,2)，$可知平移规则为向右平移2个单位，向下平移2个单位，可得$C_2(5,0)。$

 用割补法计算面积：

 $S_{△ A_1C_1C_2} = 4×8 - \frac{1}{2}×3×2 - \frac{1}{2}×2×8 - \frac{1}{2}×4×5 = 11。$

 解：

 (1) $\because$ 四边形$ABCD$是正方形，

 $\therefore ∠ BAD = 90°，$$AB = AD。$

 $\because$ 将线段$AB$按顺时针方向旋转$α(0°＜α＜90°)$得到线段$AE，$

 $\therefore ∠ EAB = α，$$AB = AE，$

 $\therefore AE = AD，$$∠ EAD = 90° + α。$

 $\therefore ∠ AED = \frac{180° - (90° + α)}{2} = 45° - \frac{1}{2}α。$

 $\because AE = AB，$$∠ EAB = α，$

 $\therefore ∠ AEB = \frac{180° - α}{2} = 90° - \frac{1}{2}α。$

 $\therefore ∠ DEB = ∠ AEB - ∠ AED = (90° - \frac{1}{2}α) - (45° - \frac{1}{2}α) = 45°。$

 (2) 补全图形，线段$DE$与$CF$的数量关系为$DE = \sqrt{2}CF，$证明如下：

 过点$C$作$CG ⊥ CF，$交$FD$的延长线于点$G。$

 $\because BF ⊥ DE，$$\therefore ∠ EFB = ∠ BFD = 90°，$

 $\therefore ∠ BFC + ∠ CFD = 90°。$

 $\because CG ⊥ CF，$$\therefore ∠ FCG = 90°，$

 $\therefore ∠ CFD + ∠ G = 90°，$

 $\therefore ∠ BFC = ∠ G。$

 在正方形$ABCD$中，$BC = DC，$$∠ BCD = 90°，$

 $\because ∠ BCD = ∠ FCG = 90°，$

 $\therefore ∠ BCF = ∠ DCG。$

 $\because BC = DC，$

 $\therefore △ BCF ≌ △ DCG，$

 $\therefore BF = DG，$$CF = CG。$

 $\therefore △ FCG$是等腰直角三角形，

 $\therefore FG = \sqrt{2}CF。$

由

 (1)知$∠ DEB = 45°，$

 $\therefore △ BEF$是等腰直角三角形，

 $\therefore EF = BF，$

 $\therefore EF = DG，$

 $\therefore EF + FD = DG + FD，$即$DE = FG，$

 $\therefore DE = \sqrt{2}CF。$

【分析】
要解决该问题，需先利用等腰三角形性质和三角函数求出OA的长度，确定点A的坐标，再根据旋转的坐标变换规则，计算点A绕原点逆时针旋转120°后的对应点A'的坐标。具体步骤：1. 分析等腰△AOB的角度，结合三角函数求出OA长度，得到点A坐标；2. 运用坐标旋转公式计算旋转后点A'的坐标。
【解析】
1. 求OA长度，确定点A坐标：
在等腰△AOB中，OA=AB，∠OAB=120°，因此底角∠AOB=∠ABO=(180°-120°)÷2=30°。
过B作BD⊥x轴于D，在Rt△OBD中，OB=2√3，∠BOD=30°，则：
OD=OB·cos30°=2√3×(√3/2)=3，BD=OB·sin30°=2√3×(1/2)=√3，即B(3,√3)。
在△AOB中，由正弦定理：OA/sin∠ABO = OB/sin∠OAB，代入∠ABO=30°，∠OAB=120°，OB=2√3，得：
OA/(1/2)=2√3/(√3/2)，解得OA=2。因OA在x轴上，故点A坐标为(2,0)。
2. 计算旋转后A'的坐标：
点(x,y)绕原点逆时针旋转θ角的坐标公式为：(xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ)。
将A(2,0)、θ=120°（cos120°=-1/2，sin120°=√3/2）代入公式：
横坐标=2×(-1/2) - 0×(√3/2)= -1，
纵坐标=2×(√3/2) + 0×(-1/2)=√3，
故A'坐标为(-1,√3)。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、坐标旋转、三角函数应用
【点评】
本题结合几何性质与坐标变换，需先确定原点点坐标，再利用旋转公式计算，关键是掌握等腰三角形角度关系和坐标旋转规则，属于中等难度的几何坐标题。
【难度系数】
0.5

【分析】首先，根据旋转的性质得到对应边、对应角的关系；再结合AD=CD，利用等腰三角形等边对等角的性质，以及三角形外角性质建立角的数量关系；最后在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再由旋转对应角相等得到∠E的度数。
【解析】
解：
∵ 将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，
∴ AD=AB，∠E=∠C，
∴ ∠B=∠ADB（等腰三角形等边对等角）。
又
∵ AD=CD，
∴ ∠CAD=∠C（等腰三角形等边对等角）。
∵ ∠ADB是△ADC的外角，
∴ ∠ADB=∠C + ∠CAD = ∠C + ∠C = 2∠C，
∴ ∠B=2∠C。
在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，已知∠BAC=108°，
∴ 108° + 2∠C + ∠C = 180°，
即3∠C = 72°，解得∠C=24°。
又
∵ ∠E=∠C，
∴ ∠E=24°。
【答案】
24°
【知识点】
旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查旋转、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，关键是利用旋转得到的边相等关系，结合等腰三角形性质和外角性质推导角的关系，逐步求解。
【难度系数】
0.5

【分析】
本题是旋转类几何计算题，核心思路是通过构造旋转全等三角形转化线段关系。首先将AB绕点A逆时针旋转90°得到AE，构造等腰直角△ABE；再利用已知角度证明点E在BC上，计算BE长度；接着结合AC旋转90°得AD的条件，证明△ABC与△AED全等；最后得出△BDE为直角三角形，用勾股定理计算BD的长。
【解析】
解：如图，将线段AB绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE。
∵ ∠BAE=90°，AB=AE=√2，
∴ △ABE是等腰直角三角形，∠AEB=45°，
由勾股定理得：$BE=\sqrt{AB^2 + AE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2$。
又
∵ ∠ABC=45°，
∴ ∠ABC=∠AEB=45°，故点E落在线段BC上。
∵ 线段AC绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，
∴ AC=AD，∠CAD=90°，
∴ ∠BAE + ∠EAC = ∠CAD + ∠EAC，即∠BAC=∠EAD。
在△ABC和△AED中：
$\begin{cases} AB=AE \\ ∠BAC=∠EAD \\ AC=AD \end{cases}$
∴ △ABC≌△AED（SAS），
∴ DE=BC=4，∠AED=∠ABC=45°，
∴ ∠BED=∠AEB + ∠AED=45°+45°=90°，即△BDE是直角三角形。
在Rt△BDE中，BE=2，DE=4，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{BE^2 + DE^2}=\sqrt{2^2 + 4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】16. $2\sqrt{5}$

【知识点】图形的旋转、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】本题通过构造旋转全等三角形，将分散的线段集中到直角三角形中，利用勾股定理求解，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与勾股定理的应用，解题关键是合理构造辅助线转化线段关系，属于典型的几何综合题。
【难度系数】0.5

【分析】
要解决本题，需先掌握平面直角坐标系中图形旋转、平移的坐标变化规律：旋转180°时，点关于原点对称，横、纵坐标均变为原坐标的相反数；平移时，点的坐标遵循“右加左减，上加下减”的规律。求△A₁C₁C₂的面积时，采用割补法，即构造包含该三角形的矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到目标三角形的面积。
【解析】
(1) 根据旋转180°的坐标特征（关于原点对称），已知A(0,4)、B(0,2)、C(3,2)，可得旋转后对应点坐标：A₁(0,-4)、B₁(0,-2)、C₁(-3,-2)，连接三点得到△A₁B₁C₁，即为所求。
(2) 由点A(0,4)平移后对应A₂(2,2)，可知平移规律为：向右平移2个单位，向下平移2个单位。因此点C(3,2)平移后对应C₂的坐标为(3+2,2-2)=(5,0)。
用割补法计算△A₁C₁C₂的面积：构造包含该三角形的矩形，矩形面积为4×8=32；减去周围三个直角三角形的面积，分别为$\frac{1}{2}×3×2=3$、$\frac{1}{2}×2×8=8$、$\frac{1}{2}×4×5=10$；因此△A₁C₁C₂的面积=32-3-8-10=11。
【答案】
17. (1) 如图，△A₁B₁C₁即为所求作；(2) △A₁C₁C₂的面积=11

【知识点】
图形的旋转、图形的平移、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中图形的旋转变换、平移变换，以及割补法求三角形面积，需熟练掌握坐标变换规律，割补法是求不规则图形面积的常用方法，题目难度适中。
【难度系数】
0.5

【分析】
本题为正方形与旋转结合的几何综合题，分为两小问。第(1)问求∠DEB，需利用正方形和旋转的性质得到等腰三角形，再通过等腰三角形内角和计算两个底角，相减得到目标角；第(2)问需先补全图形，再通过构造全等三角形，结合等腰直角三角形的性质推导线段关系，核心是利用旋转带来的边、角等量关系，结合正方形性质构造全等，转化线段以证明数量关系。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BAD=90°，AB=AD。
由旋转的性质，线段AB顺时针旋转α得到AE，
∴ AB=AE，∠EAB=α，
∴ AE=AD，∠EAD=∠BAD + ∠EAB=90°+α。
在△AED中，AE=AD，
∴ ∠AED = (180° - ∠EAD)/2 = (180° - 90° - α)/2 = 45° - (1/2)α。
在△AEB中，AE=AB，
∴ ∠AEB = (180° - ∠EAB)/2 = (180° - α)/2 = 90° - (1/2)α。
∴ ∠DEB = ∠AEB - ∠AED = (90° - (1/2)α) - (45° - (1/2)α) = 45°。
(2) 补全图形：过点B作BF⊥DE于点F，连接CF，如图所示。
证明DE=√2 CF：
过点C作CG⊥CF，交FD的延长线于点G。
∵ BF⊥DE，
∴ ∠EFB=∠BFD=90°，
∴ ∠BFC + ∠CFD = 90°。
∵ CG⊥CF，
∴ ∠FCG=90°，
∴ ∠CFD + ∠G = 90°，
∴ ∠BFC=∠G。
在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCD=90°，
∵ ∠BCD=∠FCG=90°，
∴ ∠BCF=∠DCG。
在△BCF和△DCG中：
$\{\begin{array}{l}∠BFC=∠G \\∠BCF=∠DCG \\BC=DC\end{array} $
∴ △BCF≌△DCG（AAS），
∴ BF=DG，CF=CG。
∵ ∠FCG=90°，CF=CG，
∴ △FCG是等腰直角三角形，
∴ FG=√2 CF。
由(1)知∠DEB=45°，又BF⊥DE，
∴ △BEF是等腰直角三角形，
∴ EF=BF。
∵ BF=DG，
∴ EF=DG，
∴ EF + FD = DG + FD，即DE=FG。
∴ DE=√2 CF。
【答案】
(1) ∠DEB=45°；(2) 补全图形如图所示，DE=√2 CF

【知识点】
正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题融合正方形、旋转、全等三角形及等腰直角三角形知识点，解题关键是利用旋转的不变性得到边和角的等量关系，通过构造全等三角形转化线段，考查学生的几何逻辑推理能力，是初中几何典型综合题型。
【难度系数】
0.5