第90页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

A

D

$50°$

$36°$

$(-8,13)$

$(1,-1)$

$3\sqrt{3}-3$

【分析】要确定点绕原点逆时针旋转90°后的坐标，需掌握平面直角坐标系中点旋转的坐标变换规律：点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后，对应点的坐标为$(-y,x)$。将已知点$P$的坐标代入该规律，即可得到$P'$的坐标，再匹配选项得出答案。
【解析】根据平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规则：原点点坐标为$(x,y)$时，旋转后点的坐标为$(-y,x)$。已知点$P$的坐标为$(4,3)$，将$x=4$，$y=3$代入规则，可得点$P'$的坐标为$(-3,4)$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】平面直角坐标系、点的旋转变换
【点评】本题考查基础的坐标旋转变换，属于初中数学平面直角坐标系的核心基础题型，只需牢记旋转规律即可快速解题，难度较低。
【难度系数】0.7

【分析】
本题需利用旋转的性质，结合直角三角形的勾股定理、坐标法求解。首先，旋转后对应边AC=AC'=4，且∠AC'B'=∠ACB=90°；在Rt△ACD中，已知AC=4、CD=3，可先求出AD的长度；再通过旋转后直线B'C'过点D的条件，确定点C'的坐标，最终计算线段CC'的长度。
【解析】
1. 由旋转的性质：△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，故AC=AC'=4，∠AC'B'=∠ACB=90°。
2. 在Rt△ACD中，∠ACB=90°，AC=4，CD=3，根据勾股定理：AD=√(AC² + CD²)=√(4²+3²)=5。
3. 建立平面直角坐标系：设C(0,0)，A(0,4)，D(3,0)，B(x,0)，设C'(p,q)，则AC'=4，即p²+(q-4)²=16；因B'C'与BC平行，直线B'C'过D(3,0)，结合AC'⊥B'C'的性质，推导得x=3，且由直线过D的条件得px=4q，联立方程解得p=96/25，q=72/25。
4. 计算CC'的长度：CC'=√[(p-0)² + (q-0)²]=√[(96/25)² + (72/25)²]=√[(9216+5184)/625]=√(14400/625)=120/25=24/5。
【答案】
$\dfrac{24}{5}$
【知识点】
旋转的性质、勾股定理、坐标法求线段长度
【点评】
本题主要考查旋转的性质，结合直角三角形的勾股定理，通过建立坐标系求解线段长度，需熟练运用旋转前后对应边、对应角的关系，以及坐标法的应用，难度适中。
【难度系数】
0.4

【分析】要解决本题，需先明确旋转角的定义：旋转角是图形旋转时，对应点与旋转中心所连线段的夹角。本题中，△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，点A的对应点是点C，因此OA旋转到OC的夹角∠AOC就是旋转角。接下来结合已知角的度数，通过角的和计算∠AOC即可得到结果。
【解析】根据旋转的性质，△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，即∠AOC。已知∠AOB=40°，∠BOC=10°，则∠AOC=∠AOB + ∠BOC=40°+10°=50°，因此旋转角的度数为50°。
【答案】50°
【知识点】旋转的性质，旋转角
【点评】本题考查旋转角的定义及计算，属于基础题，核心是明确旋转角的对应关系，利用角的和差求解，难度较低。
【难度系数】0.7

【分析】首先，根据旋转的性质，旋转前后对应线段相等，可知AE=AF，旋转角为∠EAF；再结合正方形的性质，AB=AD，∠B=∠D=90°，可证Rt△ABE与Rt△ADF全等，得到∠DAF=∠BAE；最后利用正方形内角∠BAD=90°，计算∠EAF的度数，即为旋转角。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°。
由旋转的性质得：AE=AF，∠EAF为旋转角。
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\AE=AF\end{array} $
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAF=∠BAE=27°，
∴∠EAF=∠BAD - ∠BAE - ∠DAF=90° - 27° - 27°=36°。
【答案】36°
【知识点】正方形性质、旋转性质、全等三角形判定
【点评】本题结合正方形和旋转的性质，通过全等三角形推导角度关系，进而计算旋转角，属于基础几何题，需掌握旋转角的定义和正方形的基本性质。
【难度系数】0.5

【分析】要确定点A关于点B的对称点A'的坐标，需明确：点B是线段AA'的中点，因此可利用中点坐标公式建立方程求解。先设A'的坐标为(x,y)，再结合中点坐标公式分别对横坐标、纵坐标列方程，解出x和y的值即可得到A'的坐标。
【解析】设点A'的坐标为(x,y)。
因为点B(-3,7)是点A(2,1)与点A'(x,y)的中点，根据中点坐标公式：
中点横坐标：$\frac{2 + x}{2} = -3$，
解得：$2 + x = -6$ → $x = -8$；
中点纵坐标：$\frac{1 + y}{2} = 7$，
解得：$1 + y = 14$ → $y = 13$；
因此，点A'的坐标为(-8,13)。
【答案】$(-8,13)$
【知识点】中点坐标公式；点关于点对称
【点评】本题考查中点坐标公式的应用，核心是理解对称点与中点的关系，属于基础题型，只要掌握中点坐标公式即可轻松解答，难度较低。
【难度系数】0.7

【分析】要确定旋转中心P，需利用旋转的核心性质：旋转中心是任意两组对应点连线的垂直平分线的交点。首先找出△ABC与△A'B'C'的对应点，分别作出两组对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的旋转中心P。
【解析】1. 确定对应点坐标：由图可得，A(-2,2)，A'(4,2)；B(-3,-2)，B'(0,3)；
2. 作AA'的垂直平分线：AA'为水平线段，其中点坐标为$(\frac{-2+4}{2},\frac{2+2}{2})=(1,2)$，水平线段的垂直平分线为过中点的竖直线，即$x=1$；
3. 作BB'的垂直平分线：BB'的中点坐标为$(\frac{-3+0}{2},\frac{-2+3}{2})=(-1.5,0.5)$，BB'的斜率为$\frac{3-(-2)}{0-(-3)}=\frac{5}{3}$，则其垂直平分线的斜率为$-\frac{3}{5}$，垂直平分线方程为$y-0.5=-\frac{3}{5}(x+1.5)$；
4. 求交点：将$x=1$代入垂直平分线方程，得$y=0.5-\frac{3}{5}×(1+1.5)=0.5-1.5=-1$，因此旋转中心P的坐标为$(1,-1)$。
【答案】$(1,-1)$
【知识点】旋转的性质、平面直角坐标系中点的坐标
【点评】本题考查旋转中心的确定，核心是利用“对应点连线的垂直平分线交于旋转中心”的性质，步骤清晰，计算简单，属于基础题型。
【难度系数】0.3

【分析】
要解决本题，需结合旋转的性质和三角形的相关知识逐步推导：首先在$Rt△ABC$中求出基础的边和角；再利用旋转的性质得到旋转后三角形的对应边、对应角及旋转角；最后在$△AB'E$中结合三角形内角和与三角函数计算$B'E$的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠B=30°$，$AB=6$，根据直角三角形性质：
$AC = AB·sin30° = 6×\frac{1}{2}=3$，$∠BAC=90°-30°=60°$。
2. 由旋转的性质可知：$△AB'C'≌△ABC$，因此$AB'=AB=6$，$∠B'=∠B=30°$，旋转角$∠BAB'=15°$，故$∠EAB'=15°$。
3. 在$△AB'E$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠AEB'=180°-∠B'-∠EAB'=180°-30°-15°=135°$。
4. 根据正弦定理，在$△AB'E$中：$\frac{B'E}{sin∠EAB'}=\frac{AB'}{sin∠AEB'}$，代入三角函数值：
$sin15°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，$sin135°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则$B'E=\frac{AB'·sin15°}{sin135°}=\frac{6×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{6×(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}×\frac{2}{\sqrt{2}}=3\sqrt{3}-3$。
【答案】
$3\sqrt{3}-3$
【知识点】
旋转的性质、直角三角形性质、正弦定理
【点评】
本题综合考查旋转的性质与三角形的边角关系，关键是利用旋转得到对应边和角，再结合三角形内角和与三角函数完成计算，需注意角度推导和三角函数值的准确运用。
【难度系数】
0.4

【分析】
要解决本题，需利用旋转的性质得到三角形全等，结合正方形的判定条件判断四边形形状；第二问通过设未知数，结合勾股定理建立方程求解，进而计算DH的长度。具体思路：(1) 由旋转得△ABE≌△ADF，推出对应角、边的关系，证明四边形AFHE的三个角为直角且邻边相等，判定其为正方形；(2) 设AE=x，利用正方形性质得EH=x，结合BH=7表示出BE，在Rt△ABE中用勾股定理列方程求出x，再利用全等三角形对应边相等得DF=BE，最终计算DH的长度。
【解析】
(1) 四边形AFHE是正方形，理由如下：
∵ Rt△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°得到Rt△ADF，
∴ Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴ ∠AEB=∠AFD=90°，AE=AF，∠BAE=∠DAF，
∴ ∠AFH=180°-∠AFD=90°，
又
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠DAB=90°，即∠DAF+∠FAB=90°，
∴ ∠BAE+∠FAB=90°，即∠FAE=90°，
在四边形AFHE中，∠FAE=90°，∠AEH=90°，∠AFH=90°，
∴ 四边形AFHE是矩形，
又
∵ AE=AF，
∴ 矩形AFHE是正方形。
(2) 设AE=x，
由(1)知四边形AFHE是正方形，
∴ EH=AE=x，
∵ BH=7，
∴ BE=BH+EH=7+x，
∵ 正方形ABCD中，BC=AB=13，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB²=AE²+BE²，
即13²=x²+(x+7)²，
整理得：x²+7x-60=0，
解得x₁=5，x₂=-12（边长为正，舍去），
∴ EH=FH=5，
∵ Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴ DF=BE=7+5=12，
∴ DH=DF+FH=12+5=17。
【答案】
(1) 四边形AFHE是正方形；(2) DH的长为17。
【知识点】
正方形的判定、旋转的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查旋转的性质、正方形的判定及勾股定理的应用，解题核心是利用旋转得到全等三角形，结合正方形判定条件推导，再通过勾股定理建立方程求解，是典型的几何综合题，需掌握相关性质定理的灵活运用。
【难度系数】
0.6