第81页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

A

$20°$或$40°$

$3\sqrt{2}$

 解：

 (1) $\because$ 四边形$ABCD$是矩形，

 $\therefore ∠ ADC=90°，$$AD// BC，$$AB=CD。$

 $\therefore ∠ DEC=∠ BCH。$

 $\because ∠ ADC=90°，$$BH⊥ CE，$

 $\therefore ∠ ADC=∠ BHC=90°。$

 由旋转的性质，知$CE=CB。$

 在$△ EDC$和$△ CHB$中，

 $\begin{cases} ∠ DEC=∠ HCB, \\ ∠ EDC=∠ CHB, \\ EC=CB, \end{cases}$

 $\therefore △ EDC ≌ △ CHB。$

 $\therefore CD=BH。$

 $\therefore AB=BH。$

 (2) 由旋转性质得$CG=AB，$结合

 (1)得$AB=BH=CG。$

 在矩形$FECG$中，$∠ ECG=90°。$

 在$△ HBO$和$△ CGO$中，

 $\begin{cases} ∠ OHB=∠ OCG=90°, \\ ∠ HOB=∠ COG, \\ HB=CG, \end{cases}$

 $\therefore △ HBO ≌ △ CGO。$

 $\therefore OH=OC，$$OB=OG。$

 在$\mathrm{Rt}△ BCH$中，$BH=AB=5，$$BC=13，$由勾股定理，得

 $CH=\sqrt{13^2-5^2}=12。$

 $\therefore OH=\frac{1}{2}CH=6。$

 在$\mathrm{Rt}△ OHB$中，由勾股定理，得

 $OB=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}，$

 $\therefore BG=2OB=2\sqrt{61}。$

 证明：

 (1) $\because$ 在正方形$ABCD$中，点$E,F$在对角线$BD$上，

 $\therefore ∠ ADF=45°，$$∠ BAD=90°。$

 $\because △ ADF$绕点$A$按顺时针方向旋转$90°$得到$△ ABQ，$

 $\therefore ∠ QAB=∠ FAD，$$BQ=DF，$$AQ=AF，$$∠ ABQ=∠ ADF=45°。$

 $\therefore ∠ QAF=∠ QAB+∠ BAF=∠ FAD+∠ BAF=∠ BAD=90°。$

 $\because ∠ EAF=45°，$

 $\therefore ∠ EAQ=45°。$

 $\therefore ∠ EAQ=∠ EAF。$

 在$△ AQE$和$△ AFE$中，

 $\begin{cases} AQ=AF, \\ ∠ EAQ=∠ EAF, \\ AE=AE, \end{cases}$

 $\therefore △ AQE ≌ △ AFE。$

 $\therefore ∠ AEQ=∠ AEF。$

 $\therefore EA$是$∠ QED$的平分线。

 (2) 由

 (1)，得$△ AQE ≌ △ AFE，$

 $\therefore EQ=EF。$

 $\because$ 四边形$ABCD$是正方形，

 $\therefore ∠ ABD=45°。$

 又$\because ∠ ABQ=45°，$

 $\therefore ∠ QBE=90°。$

 $\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ QBE$中，$EQ^2=BE^2+BQ^2。$

 又$\because BQ=DF，$

 $\therefore EF^2=BE^2+DF^2。$

【分析】要找到线段CQ的最小值，可通过旋转构造全等三角形，将CQ转化为易分析的线段EP，再结合“垂线段最短”确定EP的最小值，进而得到CQ的最小值。首先取AB中点E，利用直角三角形性质和旋转的特点证明三角形全等，转化线段后计算最小值。
【解析】
1. 取AB的中点E，连接CE、EP。
2. 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠A=30°$，$AB=8$，根据直角三角形斜边中线性质，得$BE=AE=CE=\frac{1}{2}AB=4$，且$∠CBE=60°$，故$△BCE$为等边三角形，即$BC=BE$。
3. 由旋转性质，$BP=BQ$，$∠PBQ=60°$，因此$∠PBQ=∠CBE=60°$，进而$∠QBC=∠PBE$（$∠QBC=∠PBQ - ∠PBC$，$∠PBE=∠CBE - ∠PBC$）。
4. 在$△QBC$和$△PBE$中，$\begin{cases} QB=PB \\ ∠QBC=∠PBE \\ BC=BE \end{cases}$，所以$△QBC≌△PBE(SAS)$，得$CQ=EP$。
5. 根据“垂线段最短”，当$EP⊥AC$时，EP最小，此时CQ最小。在$Rt△AEP$中，$AE=4$，$∠A=30°$，所以$EP=\frac{1}{2}AE=2$，即CQ的最小值为2。
【答案】A
【知识点】旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【点评】本题通过旋转构造全等三角形，将所求线段CQ转化为线段EP，利用垂线段最短求解最值，体现了转化思想在几何问题中的应用，是几何最值问题的典型题型。
【难度系数】0.5

【分析】
要解决本题，首先利用旋转的性质得到CA=CA'，确定△CAA'为等腰三角形并计算其底角；再结合△ABC的已知角度，求出△AA'D的三个内角；最后根据等腰三角形的性质分情况讨论，排除不可能的情况，得到符合条件的α值。
【解析】
根据旋转的性质，△ABC绕点C逆时针旋转α得到△A'B'C，因此CA=CA'，∠ACA'=α，故△CAA'是等腰三角形，其底角为：
∠CAA' = ∠CA'A = (180°−α)/2 = 90°−α/2。
在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，因此∠BAC=30°。
△AA'D的三个内角分别为：
1. ∠DAA' = ∠CAA' − ∠BAC = (90°−α/2) − 30° = 60°−α/2；
2. ∠AA'D = ∠CA'A = 90°−α/2；
3. ∠ADA'是△ACD的外角，故∠ADA' = ∠BAC + α = 30°+α。
因为△AA'D是等腰三角形，分三种情况讨论：
① 若∠DAA' = ∠AA'D，则60°−α/2 = 90°−α/2，此方程无解；
② 若∠DAA' = ∠ADA'，则60°−α/2 = 30°+α，解得α=20°，满足0°＜α＜90°；
③ 若∠AA'D = ∠ADA'，则90°−α/2 = 30°+α，解得α=40°，满足0°＜α＜90°。
综上，α的度数为20°或40°。
【答案】
20°或40°
【知识点】
旋转的性质、等腰三角形判定、三角形外角性质
【点评】
本题结合旋转与等腰三角形知识点，需通过角度计算分情况讨论，考查逻辑分析能力，需注意排除无解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.4

【分析】
要解决AD长的最小值问题，我们结合旋转性质与坐标法分析：首先利用旋转的性质得到CB=CD且∠BCD=90°，通过建立坐标系确定各点坐标，结合AB的长度得到点B的轨迹，再将AD的长度转化为代数表达式，最终通过圆上线性函数的最值求解AD的最小值。
【解析】
设点C为坐标原点(0,0)，点A坐标为(4,0)（因AC=4），设点B坐标为(x,y)。
1. 由AB=√2，根据两点间距离公式：
√[(x-4)² + y²] = √2，整理得：(x-4)² + y² = 2，即点B的轨迹是圆心为(4,0)、半径为√2的圆。
2. 线段CB顺时针旋转90°得到CD，根据旋转的坐标变换：点(x,y)绕原点顺时针旋转90°后的坐标为(y, -x)，因此点D的坐标为(y, -x)。
3. 计算AD的长度：
根据两点间距离公式，AD = √[(y - 4)² + (-x - 0)²] = √[(y-4)² + x²]，展开得：AD = √(x² + y² -8y +16)。
由点B的轨迹方程变形得：x² + y² = (x-4)² + y² +8x -16 = 2 +8x -16 =8x -14，代入上式得：
AD = √[(8x -14) -8y +16] = √(8x -8y +2) = √[8(x - y) +2]。
4. 求AD的最小值，即求8(x - y)+2的最小值：
设k=x - y，即y=x -k，代入圆的方程得：(x-4)² + (x -k)²=2，整理为2x² - (8+2k)x +k²+14=0。
因点B在圆上，方程有实根，判别式Δ≥0：
Δ=(8+2k)² -4×2×(k²+14)= -4k² +32k -48 ≥0，化简得k² -8k +12 ≤0，解得2≤k≤6，即k的最小值为2。
将k=2代入AD的表达式，得AD最小值=√(8×2 +2)=√18=3√2。
【答案】
3√2
【知识点】
旋转的性质、两点间距离公式、圆的最值
【点评】
本题将几何最值问题转化为代数表达式的最值问题，结合旋转坐标变换与圆的性质求解，是几何最值的典型题型，需要掌握坐标法和旋转的核心性质。
【难度系数】
0.5

【分析】
第(1)问要证明AB=BH，先利用矩形性质得到AB=CD，再通过旋转性质得到CE=CB，结合AD//BC推出角相等，用AAS证明△EDC和△CHB全等，进而得到CD=BH，即可证AB=BH；第(2)问先利用第(1)问结论得BH=CG，再通过角和边的关系证明△HBO和△CGO全等，得到O是BG中点，结合勾股定理算出相关线段长度，最终求出BG的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ADC=90°，AD//BC，AB=CD，
∴ ∠DEC=∠BCH。
∵ BH⊥CE，
∴ ∠BHC=90°，
∴ ∠ADC=∠BHC=90°。
由旋转的性质，得CE=CB，
在△EDC和△CHB中：
$\begin{cases} ∠DEC=∠HCB \\ ∠EDC=∠CHB \\ CE=CB \end{cases}$
∴ △EDC≌△CHB（AAS），
∴ CD=BH，
又
∵ AB=CD，
∴ AB=BH。
(2) 解：
由(1)知AB=BH=5，
∵ 矩形FECG中，CG=AB=5，∠ECG=90°，
∴ BH=CG=5，∠OHB=∠OCG=90°，
在△HBO和△CGO中：
$\begin{cases} ∠HOB=∠COG \\ ∠OHB=∠OCG \\ BH=CG \end{cases}$
∴ △HBO≌△CGO（AAS），
∴ OB=OG，即O为BG中点，OH=OC，
在Rt△BCH中，BH=5，BC=13，
由勾股定理得：$CH=\sqrt{BC^2 - BH^2}=\sqrt{13^2 -5^2}=12$，
∴ $OH=\frac{1}{2}CH=6$，
在Rt△OHB中，由勾股定理得：$OB=\sqrt{BH^2 + OH^2}=\sqrt{5^2 +6^2}=\sqrt{61}$，
∴ $BG=2OB=2\sqrt{61}$。
【答案】
$2\sqrt{61}$
【知识点】
矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形旋转的相关性质，核心是利用全等三角形转化线段关系，结合勾股定理求解，需熟练掌握几何图形的性质及判定定理，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5

【分析】
本题是正方形背景下的几何证明题，分为两小问。(1)要证EA是∠QED的平分线，需利用旋转的性质得到线段和角的等量关系，结合已知∠EAF=45°，构造全等三角形，通过全等得到对应角相等，从而证明角平分线；(2)要证线段平方关系，需结合正方形的性质推出直角，利用第一问的全等得到线段相等，再用勾股定理转化线段，完成证明。
【解析】
(1) 因为四边形ABCD是正方形，所以∠ADF=45°，∠BAD=90°。
将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，根据旋转的性质，得：
∠QAB=∠FAD，BQ=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°。
所以∠QAF=∠QAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°。
已知∠EAF=45°，则∠EAQ=∠QAF - ∠EAF=90°-45°=45°，故∠EAQ=∠EAF。
在△AQE和△AFE中：
$\{\begin{array}{l}AQ=AF \\∠EAQ=∠EAF \\AE=AE\end{array} $
所以△AQE≌△AFE（SAS），因此∠AEQ=∠AEF，即EA是∠QED的平分线。
(2) 由(1)中△AQE≌△AFE，得EQ=EF。
因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABD=45°，又∠ABQ=45°，所以∠QBE=∠ABQ + ∠ABD=45°+45°=90°，即△QBE是直角三角形。
根据勾股定理，在Rt△QBE中，$EQ^2=BE^2 + BQ^2$。
又因为BQ=DF，EQ=EF，所以$EF^2=BE^2 + DF^2$。
【答案】
(1) EA是∠QED的平分线；(2) $EF^2=BE^2+DF^2$
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】
本题通过旋转变换将分散的线段和角集中，结合正方形的对角线性质构造全等三角形，体现了几何变换在几何证明中的重要作用，需要学生熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定及勾股定理的应用，综合性适中。
【难度系数】
0.5