第82页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

A

C

A

$(2\sqrt{3},-2)$

$(-2,0)$

C

【分析】首先明确方向角的定义：以正北或正南方向为基准，描述物体运动的方向，北偏东/西是指从正北方向向东/西偏转的角度。解题时，先确定射线OE与正北方向的夹角，再结合旋转方向和旋转角度，计算出射线OF与正北方向向西偏转的角度，即可确定OF的方向角。
【解析】已知OE是北偏东29°30′，说明OE与正北方向的夹角为29°30′，且位于正北方向东侧。将OE绕点O逆时针旋转70°20′得到OF，逆时针旋转是向西侧偏转，因此OF与正北方向向西偏转的角度为：$70°20' - 29°30' = 40°50'$，即OF的方向是北偏西$40°50'$。
【答案】A
【知识点】方向角、旋转的性质
【点评】本题考查方向角的计算，核心是理解旋转方向与方向角的关系，通过角度的减法运算即可求解，属于基础题型。
【难度系数】0.6

【分析】
要解决这个问题，需明确旋转中心的定义：旋转时固定不动的点，旋转后图形的对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等。我们需要找出能使正方形$DCEF$旋转后与正方形$ABCD$重合的旋转中心，分情况讨论：
1. 公共边的端点：点$C$，将正方形$DCEF$绕点$C$逆时针旋转$90°$，各顶点可与正方形$ABCD$的顶点对应重合；
2. 公共边的端点：点$D$，将正方形$DCEF$绕点$D$顺时针旋转$90°$，各顶点可与正方形$ABCD$的顶点对应重合；
3. 公共边的中点：线段$CD$的中点，将正方形$DCEF$绕该中点旋转$180°$，也能使两正方形对应顶点重合。
综上，符合条件的旋转中心共3个。
【解析】
根据旋转的性质，旋转前后图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等：
1. 以点$C$为旋转中心，将正方形$DCEF$逆时针旋转$90°$，正方形$DCEF$可与正方形$ABCD$重合；
2. 以点$D$为旋转中心，将正方形$DCEF$顺时针旋转$90°$，正方形$DCEF$可与正方形$ABCD$重合；
3. 以线段$CD$的中点为旋转中心，将正方形$DCEF$旋转$180°$，正方形$DCEF$可与正方形$ABCD$重合。
因此，满足条件的旋转中心共有3个。
【答案】
C
【知识点】
图形的旋转、正方形的性质
【点评】
本题结合正方形的性质考查旋转的性质，需全面分析所有可能的旋转中心，避免遗漏情况，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

【分析】要确定点B的坐标，需利用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后，对应点坐标为$(-y, x)$。本题中，$\mathrm{Rt}△ OCD$绕点O逆时针旋转90°得到$\mathrm{Rt}△ OAB$，因此点D的对应点是B，只需将点D的坐标代入变换公式即可求出点B的坐标。
【解析】已知点D的坐标为$(4,-2)$，根据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律，将$x=4$，$y=-2$代入公式$(-y, x)$，可得点B的坐标为$(-(-2), 4)$，即$(2,4)$。
【答案】A
【知识点】图形的旋转、平面直角坐标系中点的坐标变换
【点评】本题考查平面直角坐标系中点的旋转变换，核心是掌握点绕原点逆时针旋转90°的坐标变化规律，属于基础题型，难度不大，需熟练应用变换公式解题。
【难度系数】0.6

【分析】
本题分为两小问，均考查平面直角坐标系中图形旋转的坐标计算。第(1)问，已知点A在x轴上，绕原点顺时针旋转，利用旋转前后线段长度不变，结合三角函数计算对应点坐标；第(2)问，先根据直角三角形性质求出点C的坐标及OC长度，再根据旋转角度计算旋转后点C₁的位置，进而得到坐标。
【解析】
(1) 点A(4,0)，则OA=4。将点A绕原点O顺时针旋转30°后得到A'，根据旋转性质，OA'=OA=4。设A'(x,y)，由三角函数定义：
$x = OA'·\cos(-30°) = 4×\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$，
$y = OA'·\sin(-30°) = 4×(-\frac{1}{2}) = -2$，
故A'的坐标为$(2\sqrt{3}, -2)$。
(2) 在Rt△CBO中，OB=√3，∠COB=30°，CB⊥OB，所以：
$CB = OB·\tan30° = \sqrt{3}×\frac{1}{\sqrt{3}} = 1$，
因此点C的坐标为$(\sqrt{3},1)$，$OC=\sqrt{OB^2 + CB^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2 +1^2}=2$。
将△CBO绕点O逆时针旋转150°，则OC₁=OC=2，旋转后OC与x轴正方向的夹角为$30°+150°=180°$，即C₁在x轴负半轴，坐标为$(-2,0)$。
【答案】
(1) $(2\sqrt{3}, -2)$；(2) $(-2,0)$
【知识点】旋转的坐标变换，三角函数的应用，平面直角坐标系
【点评】
本题主要考查平面直角坐标系中图形旋转的坐标求解，需掌握旋转的基本性质（旋转前后对应线段长度相等），结合三角函数或角度分析确定点的位置，属于基础题型，需注意旋转方向对角度的影响。
【难度系数】0.5

【分析】
第(1)题：要画出线段AB绕点O逆时针旋转90°后的图形，需利用旋转的性质，确定点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点，保证对应点到旋转中心O的距离相等，且旋转角为90°，再连接对应点得到所求线段。
第(2)题：第一步是平移操作，将△ABC的三个顶点分别向右平移4个单位，得到对应顶点后顺次连接得到平移后的三角形；第二步是旋转操作，将平移后的三角形绕点C₁旋转180°，根据旋转180°的性质，对应点与旋转中心共线且到旋转中心距离相等，确定对应点后顺次连接得到最终图形。
【解析】
(1) ① 找对应点：在方格中，根据旋转90°的性质，确定点A绕O逆时针转90°后的对应点A'，点B绕O逆时针转90°后的对应点B'；② 连接A'B'，则线段A'B'即为AB旋转后的图形。
(2) ① 平移：将点A、B、C分别向右平移4个单位，得到A₁、B₁、C₁，顺次连接得△A₁B₁C₁；② 旋转180°：绕点C₁旋转180°，确定A₁关于C₁的对称点A₂，B₁关于C₁的对称点B₂，点C₁对应自身，顺次连接A₂、B₂、C₁，得到△A₂B₂C₂。
【答案】
(1) 如图①，线段$A'B'$即为所求作；(2) 如图②，$△ A_2B_2C_2$即为所求作。
【知识点】
图形的旋转、图形的平移
【点评】
本题考查图形平移与旋转的基本作图，需掌握平移和旋转的性质，准确确定对应点是解题核心，属于基础作图题，难度适中。
【难度系数】
0.7

【分析】要确定旋转后点A'的坐标，需先算出旋转后OA'与x轴正方向的夹角，再利用三角函数结合OA'的长度计算坐标。步骤为：1. 计算旋转后OA'与x轴正方向的夹角；2. 根据极坐标转直角坐标的方法，用三角函数求点A'的横、纵坐标。
【解析】
1. 计算旋转后OA'与x轴正方向的夹角：原OA与x轴正方向夹角为45°，绕点O逆时针旋转105°，因此OA'与x轴正方向的夹角为 $45° + 105° = 150°$。
2. 求点A'的坐标：已知旋转后 $OA' = OA = 2$，根据平面直角坐标系中点的坐标公式（对于长度为r、与x轴正方向夹角为θ的线段，端点坐标为 $(r\cosθ, r\sinθ)$）：
横坐标：$x = OA' · \cos150° = 2 × (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$；
纵坐标：$y = OA' · \sin150° = 2 × \frac{1}{2} = 1$；
因此点A'的坐标为 $(-\sqrt{3},1)$。
【答案】C
【知识点】旋转的性质；平面直角坐标系中点的坐标；三角函数的应用
【点评】本题结合旋转性质考查坐标计算，核心是确定旋转后的角度，再利用三角函数求解，属于中等难度的基础题型。
【难度系数】0.5