第80页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

C

$84°$

25

 证明：解法一（全等法）：

 $\because △ ABC$与$△ ADE$都是等边三角形，

 $\therefore AB=AC，$$AD=AE，$$∠ BAC=∠ DAE=60°。$

 $\therefore ∠ BAD + ∠ DAC = 60°，$$∠ DAC + ∠ CAE = 60°。$

 $\therefore ∠ BAD = ∠ CAE。$

 在$△ ABD$和$△ ACE$中，

 $\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$

 $\therefore △ ABD ≌ △ ACE。$

 $\therefore BD=CE。$

 解法二（旋转法）：

 $\because △ ABC$与$△ ADE$都是等边三角形，

 $\therefore AB=AC，$$AD=AE，$$∠ BAC=∠ DAE=60°。$

 $\therefore ∠ BAD=∠ CAE。$

 将$△ ABD$绕点$A$逆时针旋转$60°，$由旋转的性质，得$△ ABD$与$△ ACE$重合，

 $\therefore BD=CE。$

A

【分析】首先明确旋转角的定义：图形旋转时，对应点与旋转中心所连线段的夹角为旋转角。本题中，菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，旋转中心是点O，需先确定对应点，再判断各选项中的角是否为对应点与旋转中心连线的夹角，从而找出不是旋转角的选项。
【解析】根据旋转角的定义，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角。本题中，菱形ABOC绕O旋转得到菱形DFOE，对应点为A→D、B→F、C→E，因此旋转角为：∠AOD（对应点A、D与O的夹角）、∠BOF（对应点B、F与O的夹角）、∠COE（对应点C、E与O的夹角）；而∠COF的两边是OC和OF，OC对应点E，OF对应点B，不是对应点与旋转中心的连线夹角，所以不是旋转角。因此答案选D。
【答案】D
【知识点】旋转角的定义、图形的旋转
【点评】本题考查旋转角的基础概念，解题关键是找准旋转中心和对应点，判断夹角是否为对应点与旋转中心的连线夹角，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】0.5

【分析】
要计算$CC'$的长度，需利用旋转的性质和勾股定理：首先根据勾股定理求出原直角三角形$ABC$中$AC$的长度，再由旋转性质得到$AC=AC'$且旋转角$∠ CAC'=90°$，可知$△ CAC'$是等腰直角三角形，最后用勾股定理计算$CC'$。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=2$，$BC=1$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
因为$△ ABC$绕点$A$顺时针旋转$90°$得到$△ AB'C'$，根据旋转的性质，对应边相等、旋转角为$90°$，所以：
$AC=AC'=\sqrt{5}$，$∠ CAC'=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CAC'$中，再次用勾股定理：
$CC'=\sqrt{AC^2+AC'^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{5+5}=\sqrt{10}$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质、勾股定理
【点评】
本题结合旋转性质与勾股定理求线段长度，核心是利用旋转得到等腰直角三角形，步骤清晰，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决本题，需利用旋转的性质得到对应边、对应角的关系，结合邻补角性质和等腰三角形性质计算角度：首先，旋转后对应边CA=CD，对应角∠CDE=∠CAB；因A、D、E共线，∠CDE与∠ADC互补，可求出∠ADC；再由CA=CD得△CAD为等腰三角形，推出∠CAD的度数，最后用∠BAC减去∠CAD即可得到∠BAD。
【解析】
解：根据旋转的性质，得CA=CD，∠CDE=∠CAB=132°。
∵点A、D、E在同一条直线上，
∴∠CDE与∠ADC互为邻补角，即∠CDE + ∠ADC = 180°，
∴∠ADC = 180° - 132° = 48°。
又
∵CA=CD，
∴△CAD是等腰三角形，等腰三角形两底角相等，
∴∠CAD = ∠ADC = 48°。
已知∠BAC=132°，
∴∠BAD = ∠BAC - ∠CAD = 132° - 48° = 84°。
【答案】
84°
【知识点】
旋转的性质、等腰三角形的性质、邻补角
【点评】
本题结合旋转的性质与等腰三角形的角度计算，核心是利用旋转得到的边和角的关系，结合邻补角性质推导所求角度，属于几何基础题型，需熟练掌握旋转的基本性质。
【难度系数】
0.5

【分析】
首先根据旋转的性质，△ABC绕点B旋转得到△A₁BC₁，可得BA=BA₁，旋转角∠ABA₁=30°，且△ABC与△A₁BC₁面积相等。观察阴影部分面积的组成，可将其转化为△ABA₁的面积（因为阴影面积=S△A₁BC₁ + S△ABA₁ - S△ABC，而S△A₁BC₁=S△ABC，所以阴影面积等于△ABA₁的面积），再利用等腰三角形的面积公式计算即可。
【解析】
解：由旋转的性质可知：
BA = BA₁ = 10，∠ABA₁ = 30°，且S△ABC = S△A₁BC₁。
阴影部分面积 = S△A₁BC₁ + S△ABA₁ - S△ABC = S△ABA₁。
根据三角形面积公式：
S△ABA₁ = $\frac{1}{2}×AB×BA₁×sin∠ABA₁$ = $\frac{1}{2}×10×10×sin30°$ = $\frac{1}{2}×10×10×\frac{1}{2}$ = 25。
【答案】
25
【知识点】
旋转的性质、三角形面积计算
【点评】
本题运用转化与化归思想，将不规则的阴影面积转化为规则的等腰三角形面积，核心是利用旋转前后图形面积相等的性质简化计算，关键在于理清阴影部分与各三角形面积的关系。
【难度系数】
0.4

【分析】要证明BD=CE，可观察到BD和CE分别在△ABD与△ACE中，因此考虑通过证明这两个三角形全等实现。已知△ABC和△ADE都是等边三角形，根据等边三角形的性质，能得到两组边相等（AB=AC，AD=AE），以及两个60°的角（∠BAC=∠DAE=60°），通过角的和差关系可推出∠BAD=∠CAE，满足全等三角形的SAS判定条件，进而证明△ABD≌△ACE，得到BD=CE；也可利用旋转的性质，将△ABD绕点A逆时针旋转60°，会与△ACE重合，从而得到BD=CE。
【解析】
解法一（全等法）：
∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD + ∠DAC = ∠BAC = 60°，∠CAE + ∠DAC = ∠DAE = 60°，
∴∠BAD = ∠CAE。
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠BAD = ∠CAE \\AD = AE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE。
解法二（旋转法）：
∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD + ∠DAC = ∠BAC = 60°，∠CAE + ∠DAC = ∠DAE = 60°，
∴∠BAD=∠CAE。
将△ABD绕点A逆时针旋转60°，由旋转的性质可知，AB与AC重合，AD与AE重合，因此△ABD与△ACE重合，
∴BD=CE。
【答案】BD=CE
【知识点】等边三角形性质、全等三角形判定、旋转的性质
【点评】本题为一题多解的几何证明题，既可以通过全等三角形的SAS判定定理证明线段相等，也可利用旋转的性质简化证明过程，考查了等边三角形的性质及几何变换的应用，有助于提升学生的几何逻辑思维能力。
【难度系数】0.5

【分析】
要解决本题，需先明确平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，再将已知点P的坐标代入规律计算，最后匹配选项得出答案。
【解析】
平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点顺时针旋转$90°$后的坐标变换规律为：新坐标为$(y, -x)$。已知点$P(-4,5)$，将$x=-4$、$y=5$代入规律，可得点$Q$的坐标为$(5, -(-4))=(5,4)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系、点的旋转变换
【点评】
本题考查基础的坐标旋转变换，只需牢记顺时针旋转90°的坐标规律即可快速解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.7