第66页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

B

C

D

$-10$

$y=\frac{2}{x}$

$y=\frac{1}{x}$

 解：设矩形OABC的长$CB=a，$宽$AB=b。$

 $\because CE=\frac{1}{3}CB，$$AF=\frac{1}{3}AB，$

 $\therefore CE=\frac{1}{3}a，$$AF=\frac{1}{3}b。$

 $\therefore △ COE$的面积为$\frac{1}{6}ab，$$△ AOF$的面积为$\frac{1}{6}ab，$矩形OABC的面积为$ab。$

 $\therefore$ 四边形OEBF的面积为$ab-\frac{1}{6}ab-\frac{1}{6}ab=\frac{2}{3}ab。$

 $\therefore △ AOF$的面积$:$四边形OEBF的面积$=\frac{1}{6}:\frac{2}{3}=1:4。$

 $\because$ 四边形OEBF的面积为2，

 $\therefore △ AOF$的面积$=2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}。$

 $\therefore \frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}，$解得$k=\pm1。$

 又$\because k＞0，$

 $\therefore k=1。$

【分析】要解决本题，需先确定点B的坐标，再计算矩形OABC的面积。已知点B在反比例函数$y=\frac{2}{x}$上，横坐标为1，代入函数可求出纵坐标；矩形OABC的面积等于点B横、纵坐标的乘积，也可利用反比例函数中“过双曲线上一点作x轴、y轴垂线，所得矩形面积为$|k|$”的性质直接求解。
【解析】
1. 求点B的坐标：将点B的横坐标$x=1$代入$y=\frac{2}{x}$，得$y=\frac{2}{1}=2$，因此点B的坐标为$(1,2)$。
2. 计算矩形面积：由图可知，矩形OABC的长$OA=1$，宽$OC=2$，根据矩形面积公式，面积为$OA×OC=1×2=2$；也可利用反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k$的几何意义，此处$k=2$，故矩形面积为$|k|=2$。
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质、矩形面积计算
【点评】本题考查反比例函数的基础性质，核心是利用$k$的几何意义求矩形面积，题目难度低，是反比例函数的典型基础题，帮助理解$k$的几何意义。
【难度系数】0.8

【分析】
要解决这道题，需结合反比例函数上点的坐标特征、关于x轴对称点的坐标特点以及三角形面积公式推导。先设点P的坐标，利用对称性得到AB的长度，再结合P到AB的距离，通过三角形面积建立与k的关系，最后根据反比例函数所在象限判断k的符号，得出结果。
【解析】
设点P的坐标为$(x, y)$，因点P在函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＜0)$的图象上，故$k=xy$。由图象可知函数在第二象限，因此$y＞0$，$x＜0$，则$k=xy＜0$。
因为$PA⊥y$轴，所以点A的坐标为$(0, y)$。
B是点A关于x轴的对称点，根据“关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”，得点B的坐标为$(0, -y)$，则$AB$的长度为$y - (-y)=2y$。
点P到AB（y轴）的距离等于点P横坐标的绝对值，即$|x|=-x$（因$x＜0$）。
根据三角形面积公式，$△ PAB$的面积为：$\dfrac{1}{2}×AB×$点P到AB的距离$=\dfrac{1}{2}×2y×(-x)= -xy$。
已知$△ PAB$的面积为18，故$-xy=18$，又$k=xy$，因此$k=-18$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数性质；坐标与图形；三角形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数坐标特征、对称点性质和三角形面积公式，考查对反比例函数中k的几何意义的理解，关键是推导面积与k的关系，注意k的符号判断，避免出错。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质和反比例函数的特点。首先利用平行四边形的面积公式求出点A的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式计算k值。步骤如下：1. 根据平行四边形对角线的坐标关系，确定A点纵坐标与B点相同；2. 结合平行四边形面积求出OC的长度，进而得到A点的横坐标；3. 代入反比例函数解析式计算k。
【解析】
设点A坐标为$(a,b)$，点C在x轴上，坐标为$(c,0)$。
因为四边形ABCO是平行四边形，根据平行四边形性质，对角线OB的坐标等于$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$，即点B坐标为$(a+c,b)$。已知B点坐标为$(1,3)$，因此得$b=3$，$a+c=1$。
平行四边形面积=底×高，以OC为底，高为A点纵坐标$b$，已知面积为6，OC长度为$|c|$，则：
$|c| × b =6$，代入$b=3$得$|c|=2$。由图形知C在x轴负半轴，故$c=-2$。
结合$a+c=1$，代入$c=-2$得$a=3$，即A点坐标为$(3,3)$。
将A点代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=3×3=9$。
【答案】
9
【知识点】
平行四边形性质、反比例函数
【点评】
本题结合平行四边形与反比例函数考查坐标计算，关键是利用平行四边形面积确定A点坐标，进而求k值，属于基础综合题。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决本题，需结合中点坐标公式、三角形面积公式与反比例函数的性质。先设出点A、C的坐标，利用B是AC中点且在y轴上的条件，得到A、C横坐标的关系；再通过△AOC的面积求出相关量，最后代入反比例函数解析式计算k值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,0)$（$a＞0$），点C的坐标为$(c,d)$（$c＜0$）。
因为B是AC的中点，且B在y轴上，根据中点坐标公式，AC中点的横坐标为$\frac{a+c}{2}=0$，解得$c=-a$，即点C的坐标为$(-a,d)$。
△AOC的面积为5，以OA为底，OA长度为$a$，点C到x轴的距离为$d$（$d＞0$），则：
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × OA × d=\frac{1}{2} × a × d=5$，
解得$a · d=10$。
又因为点C在函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$C(-a,d)$代入解析式得：
$d=\frac{k}{-a}$，即$k=-a · d$，
把$a · d=10$代入，得$k=-10$。
【答案】
-10
【知识点】
反比例函数性质、中点坐标公式、三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的基础题型，核心是利用坐标转化线段长度、面积，再结合反比例函数的解析式求解，需掌握坐标与几何量的对应关系。
【难度系数】
0.5

【分析】首先设第一象限内点A的坐标为$(a,b)$，由$AB⊥y$轴可知AB是水平线段，其长度等于点A的横坐标$a$，且B点坐标为$(0,b)$。由于AB和CD均在水平方向，四边形ABCD是梯形，梯形的高为AB与CD的垂直距离，即点B的纵坐标$b$。结合$CD=3AB$可得CD的长度，再利用梯形面积公式，结合已知面积求出$ab$的值，最后根据反比例函数$k=xy$的性质确定解析式。
【解析】设点A的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$，因A在第一象限），则AB的长度为$a$，B点坐标为$(0,b)$。
由$CD=3AB$，得$CD=3a$。
四边形ABCD为梯形，上底$AB=a$，下底$CD=3a$，高为$b$（AB与CD的垂直距离）。
根据梯形面积公式：$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，代入得：
$S_{ABCD}=\frac{1}{2}×(a+3a)×b=2ab$。
已知$S_{ABCD}=4$，则$2ab=4$，解得$ab=2$。
因为点$A(a,b)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，所以$k=ab=2$，故反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$。
【答案】$y=\frac{2}{x}$
【知识点】反比例函数解析式、梯形面积计算
【点评】本题结合反比例函数性质与梯形面积公式，通过设点坐标转化线段关系，利用面积求出反比例函数的比例系数，关键是确定四边形为梯形并正确运用公式，属于基础综合题。
【难度系数】0.5

【分析】
要解决这道题，首先利用矩形的中心对称性：原点是矩形对角线交点，说明矩形关于原点中心对称，因此点A和点C关于原点对称。接着设点A的坐标为$(m,n)$（$m＞0,n＞0$），根据中心对称得点C坐标为$(-m,-n)$，再结合AB平行x轴，确定矩形的长和宽，利用面积公式求出$mn$的值，最后根据反比例函数的定义，点A在函数上，$k=mn$，即可求出解析式。
【解析】
设点$A$的坐标为$(m,n)$（$m＞0,n＞0$），
因为原点$O$是矩形$ABCD$对角线的交点，矩形关于原点中心对称，所以点$C$的坐标为$(-m,-n)$。
又$AB// x$轴，因此矩形$ABCD$的水平边长为$m - (-m)=2m$，垂直边长为$n - (-n)=2n$。
已知矩形面积为4，根据矩形面积公式：
$2m × 2n = 4$，
化简得$4mn=4$，即$mn=1$。
因为点$A(m,n)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，代入得$n=\dfrac{k}{m}$，即$k=mn=1$。
所以反比例函数的解析式为$y=\dfrac{1}{x}$。
【答案】
$y=\dfrac{1}{x}$
【知识点】
反比例函数解析式、矩形的性质
【点评】
本题结合矩形的中心对称性与反比例函数的性质，通过设点坐标，利用面积关系求反比例函数的比例系数，考查了几何图形与函数结合的分析能力，是中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.5

【分析】要解决这道题，我们可以通过设矩形的边长为参数，利用反比例函数上点的坐标特征得到k与边长的关系，再结合面积的和差关系求出边长的乘积，进而计算k的值。首先设矩形OABC的长为a，宽为b，分别表示出E、F两点的坐标，利用反比例函数性质得到k的表达式，再计算各部分面积，结合已知四边形面积求解。
【解析】设矩形OABC的长CB = a，宽AB = b，则OA = CB = a，OC = AB = b。
1. 确定点E、F的坐标：
因为CE = 1/3 CB，所以CE = (1/3)a，故点E的坐标为( (1/3)a , b )；
因为AF = 1/3 AB，所以AF = (1/3)b，故点F的坐标为( a , (1/3)b )。
2. 利用反比例函数性质求k与a、b的关系：
点E、F在反比例函数y = k/x（x＞0，k＞0）的图象上，根据反比例函数的性质，点在函数图象上时，横纵坐标的乘积等于k，因此：
对E点：k = (1/3 a) × b = (ab)/3；
对F点：k = a × (1/3 b) = (ab)/3，两者一致，验证正确。
3. 计算各部分面积：
矩形OABC的面积S矩形 = ab；
△COE的面积：S△COE = (1/2) × CE × OC = (1/2) × (1/3 a) × b = ab/6；
△AOF的面积：S△AOF = (1/2) × OA × AF = (1/2) × a × (1/3 b) = ab/6；
四边形OEBF的面积 = S矩形 - S△COE - S△AOF = ab - ab/6 - ab/6 = (2ab)/3；
4. 求解k：
已知四边形OEBF的面积为2，因此 (2ab)/3 = 2 → ab = 3；
又因为k = (ab)/3，所以k = 3/3 = 1，且k＞0，符合条件。
【答案】1
【知识点】反比例函数k的几何意义，矩形面积，三角形面积
【点评】本题综合考查反比例函数的性质与矩形、三角形的面积计算，核心是利用反比例函数上点的坐标乘积等于k，通过面积和差建立参数关系，难度适中，需要学生掌握坐标与面积的转化。
【难度系数】0.5