第65页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

B

2

$m＞\frac{1}{2}$

$-2＜x＜0$

 解：

 (1) $\because$ 点$C$的坐标为$(1,6)，$且在反比例函数$y=\frac{k}{x}$位于第一象限的图象上，

 $\therefore 6=\frac{k}{1}，$即$k=6。$

 $\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}。$

 设直线$AC$对应的函数解析式为$y=ax+b(a≠0)。$

 把$A(-2,0)，$$C(1,6)$分别代入，得

 $\begin{cases}-2a+b=0,\\a+b=6,\end{cases}$

 解得$\begin{cases}a=2,\\b=4.\end{cases}$

 $\therefore$ 直线$AC$对应的函数解析式为$y=2x+4。$

 令$x=0，$则$y=4。$

 $\therefore$ 点$B$的坐标为$(0,4)。$

 (2) $\because$ 点$D$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$位于第一象限的图象上，纵坐标为2，

 $\therefore 2=\frac{6}{x}，$解得$x=3。$

 由题意知，$OA=2，$$OB=4，$

 $\therefore S_{\mathrm{四边形}ABDO}=S_{△ AOB}+S_{△ BOD}=\frac{1}{2}OA· OB+\frac{1}{2}OB· x_D=\frac{1}{2}×2×4+\frac{1}{2}×4×3=10。$

 解：

 列表如下：

 描点，画出函数图象如图所示。

 观察图象，可得该函数图象与坐标轴无交点；当$x＞0$时，该函数有最小值，为2。

 $\therefore$ 小明、小丽的发现都正确。

【分析】本题考查反比例函数的性质，当$k＜0$时，反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。已知点$A$、$B$的纵坐标满足$y_1＞y_2$，结合两点横坐标的关系，判断两点需在不同象限（若同象限则$y$随$x$增大而增大，会导致$y_2＞y_1$，与题意矛盾），因此两点横坐标需异号，据此列不等式求解$a$的范围。
【解析】对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＜0)$，其图象在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
点$A(a-1,y_1)$、$B(a+1,y_2)$的横坐标差为$(a+1)-(a-1)=2＞0$，即$x_B ＞ x_A$。
若两点在同一象限，则根据函数性质，$y_2 ＞ y_1$，与题中$y_1 ＞ y_2$矛盾，因此两点必在不同象限，即两点横坐标异号：
$(a-1)(a+1) ＜ 0$，
展开得$a^2 -1 ＜0$，即$a^2 ＜1$，
解得$-1 ＜ a ＜1$。
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质，一元二次不等式的求解
【点评】本题核心是利用反比例函数的象限分布与单调性，判断两点所在象限，转化为横坐标异号的不等式求解，需注意区分同象限与不同象限的函数值变化规律，避免出错。
【难度系数】0.5

【分析】
要解决本题，首先明确第一象限内反比例函数的性质：其解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，且$k＞0$。观察图像可知，点$A(3,1)$在反比例函数图像的上方，这意味着当$x=3$时，反比例函数对应的函数值小于点$A$的纵坐标，据此可列出关于$k$的不等式，确定$k$的取值范围后，选取一个符合条件的$k$值即可。
【解析】
因为反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图像在第一象限，所以$k＞0$。
点$A(3,1)$在该函数图像的上方，说明当$x=3$时，函数值$\frac{k}{3} ＜ 1$，
解不等式$\frac{k}{3} ＜ 1$，得$k ＜ 3$。
结合$k＞0$，只要取$0＜k＜3$的数都满足条件，例如$k=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数的图像与性质
【点评】
本题考查反比例函数图像的性质，核心是根据点与函数图像的位置关系推导$k$的取值范围，答案不唯一，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5

【分析】
首先回忆反比例函数的性质：对于反比例函数$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $，当$ k＜0 $时，在每个象限内，$ y $随$ x $的增大而增大；当$ k＞0 $时，在每个象限内，$ y $随$ x $的增大而减小。题目中$ A、B $两点的横坐标满足$ x_1＜x_2＜0 $，说明两点在同一象限（第三象限），且此时$ y_1＜y_2 $，即$ x $增大时$ y $也增大，因此反比例函数的比例系数$ k=1-2m $应小于0，据此列出不等式求解即可得到$ m $的取值范围。
【解析】
反比例函数$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $的性质：在同一象限内，若$ y $随$ x $的增大而增大，则$ k＜0 $。
已知两点$ A、B $的横坐标满足$ x_1＜x_2＜0 $（同一象限），且$ y_1＜y_2 $，说明该函数在第三象限内$ y $随$ x $的增大而增大，因此比例系数$ k=1-2m＜0 $。
解不等式$ 1-2m＜0 $：
移项得：$ -2m ＜ -1 $，
两边同时除以$-2$（不等号方向改变）得：$ m＞\frac{1}{2} $。
【答案】
$ m＞\frac{1}{2} $
【知识点】
反比例函数的性质、一元一次不等式的解法
【点评】
本题考查反比例函数的单调性，核心是根据同一象限内$ y $随$ x $的变化情况判断比例系数的符号，进而解不等式，属于基础题型，需熟练掌握反比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这个问题，需结合反比例函数的性质和分式不等式的求解方法。首先将函数值$y＜-1$转化为分式不等式，再根据“分式小于0则分子分母异号”的规则分情况讨论，排除无解的情况后，即可得到自变量$x$的取值范围。
【解析】
解：由题意得不等式$\frac{2}{x} ＜ -1$，且$x≠0$。
移项通分：$\frac{2}{x} +1 ＜0$，整理得$\frac{x+2}{x} ＜0$。
分式小于0，说明分子与分母异号，分两种情况：
① $\begin{cases}2+x＞0 \\ x＜0 \end{cases}$，解得$-2 ＜ x ＜0$；
② $\begin{cases}2+x＜0 \\ x＞0 \end{cases}$，此不等式组无解。
综上，自变量$x$的取值范围是$-2 ＜ x ＜0$。
【答案】
$-2＜x＜0$
【知识点】
反比例函数的性质、分式不等式的求解
【点评】
本题考查反比例函数与不等式的结合应用，核心是将函数值范围转化为不等式，求解时需注意分式不等式的符号判断，避免因忽略$x$的正负导致错误，属于基础题型，需掌握分式不等式的解法。
【难度系数】
0.5

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需先利用反比例函数上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再通过待定系数法求直线AB的解析式，进而得到点B的坐标；第(2)问先根据反比例函数求出点D的坐标，再将四边形ABDO的面积分割为△AOB和△BOD的面积之和，分别计算后求和即可。
【解析】
(1) 求反比例函数解析式和点B的坐标：
∵点C(1,6)在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，
∴将C(1,6)代入得：$6=\dfrac{k}{1}$，解得$k=6$，
∴反比例函数的解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
设直线AC对应的函数解析式为$y=ax+b(a≠0)$，
将A(-2,0)、C(1,6)代入得方程组：
$\begin{cases}-2a + b = 0 \\ a + b = 6\end{cases}$
解方程组：用第二个方程减第一个方程得$3a=6$，即$a=2$，代入$-2×2 + b=0$得$b=4$，
∴直线AC的解析式为$y=2x + 4$。
令$x=0$，则$y=2×0 + 4=4$，
∴点B的坐标为$(0,4)$。
(2) 求四边形ABDO的面积：
∵点D在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$的图象上，且纵坐标为2，
∴将$y=2$代入$y=\dfrac{6}{x}$得：$2=\dfrac{6}{x}$，解得$x=3$，即D(3,2)。
四边形ABDO的面积可分为△AOB和△BOD的面积之和：
$OA=2$，$OB=4$，
$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}×OA×OB=\dfrac{1}{2}×2×4=4$，
$S_{△ BOD}=\dfrac{1}{2}×OB×x_D=\dfrac{1}{2}×4×3=6$，
∴$S_{四边形ABDO}=S_{△ AOB}+S_{△ BOD}=4 + 6=10$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y=\dfrac{6}{x}$，点B的坐标为$(0,4)$；(2) 四边形ABDO的面积为10。
【知识点】
反比例函数解析式，一次函数解析式，图形面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的结合应用，涉及待定系数法求函数解析式、反比例函数点的坐标特征及不规则图形面积的分割计算，解题关键是合理分割图形求面积，难度适中。
【难度系数】
0.6

【分析】
要判断小明和小丽的发现是否正确，需通过列表、描点画出函数$y=x+\dfrac{1}{x}$的图象，再结合图象特征分析：①函数定义域为$x≠0$，需验证图象是否与坐标轴相交；②当$x＞0$时，观察图象是否存在最小值，以此验证两人的结论。
【解析】
步骤1：列表，取$x≠0$的数值，计算对应的$y$值：
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-\dfrac{1}{3}$ | $\dfrac{1}{3}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $-\dfrac{10}{3}$ | $-\dfrac{5}{2}$ | $-2$ | $-\dfrac{5}{2}$ | $-\dfrac{10}{3}$ | $\dfrac{10}{3}$ | $\dfrac{5}{2}$ | $2$ | $\dfrac{5}{2}$ | $\dfrac{10}{3}$ |
步骤2：根据列表中的点，在坐标系中描点并连线，得到函数图象（如图所示）。
步骤3：分析结论：
① 函数中$x≠0$，故图象与$y$轴无交点；若$y=0$，则$x+\dfrac{1}{x}=0$，即$x^2=-1$，无实数解，因此图象与$x$轴也无交点，小明的发现正确；
② 当$x＞0$时，观察图象可知，在$x=1$处函数取得最小值$2$，小丽的发现正确。
【答案】
小明、小丽的发现都正确

【知识点】
函数的图象、函数的性质、函数的最值
【点评】
本题通过列表、描点、画图的方法探究函数$y=x+\dfrac{1}{x}$的图象与性质，考查数形结合思想的应用，要求学生能通过图象分析函数特征，属于基础探究题。
【难度系数】
0.5