第67页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

A

D

$-3$

$-4$

 解：

 (1) $\because B(2,3)，$$AB// x$轴，$BC// y$轴，

 $\therefore$ 点A的纵坐标为3，点C的横坐标为2。

 又$\because$ 点A，C在函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，

 $\therefore$ 易得$A(1,3)，$$C(2,\frac{3}{2})。$

 设直线OC对应的函数解析式为$y=kx，$将$C(2,\frac{3}{2})$代入$y=kx，$

 得$2k=\frac{3}{2}，$解得$k=\frac{3}{4}。$

 $\therefore$ 直线OC对应的函数解析式为$y=\frac{3}{4}x。$

 (2) 四边形OABC的面积不变。

 理由：延长BA，BC，分别交y轴于点M，交x轴于点N，

 由题意可知，$BM// x$轴，$BN// y$轴，

 $\therefore S_{\mathrm{四边形}BMON}=6，$$S_{△ AOM}=S_{△ CON}=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}。$

 $\therefore S_{\mathrm{四边形}OABC}=S_{\mathrm{四边形}BMON}-S_{△ AOM}-S_{△ CON}=6-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=3。$

 $\therefore$ 四边形OABC的面积不变。

 (3) 过点C作$CD⊥ OA$于点D。

 由题意可知，$CB⊥ AB，$$CN⊥ x$轴。

 $\because OC$平分OA与x轴正半轴的夹角，

 $\therefore CD=CN。$

 $\because$ 点$B(m,n)$在函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，点C在函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，$BC// y$轴，

 $\therefore$ 易得$B(m,\frac{6}{m})，$$C(m,\frac{3}{m})。$

 $\therefore BN=\frac{6}{m}，$$CN=\frac{3}{m}，$

 $\therefore BN=2CN，$

 $\therefore BC=CN，$

 $\therefore CD=CB。$

 又$\because CD⊥ OA，$$CB⊥ AB，$

 $\therefore AC$是$∠ OAB$的平分线。

【分析】
要解决本题，需运用反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{|k|}{2}$。解题时，先分别求出$△ POA$和$△ BOA$的面积，再通过面积差得到$△ POB$的面积。
【解析】
设点$P$的横坐标为$a(a＞0)$，因点$P$在$l_1:y=\frac{4}{x}$上，故$P(a,\frac{4}{a})$；
由$PA ⊥ x$轴，得$A(a,0)$，又点$B$在$PA$上且在$l_2:y=\frac{2}{x}$上，故$B(a,\frac{2}{a})$。
根据反比例函数k的几何意义：
$△ POA$的面积为$\frac{1}{2} × |k_1| = \frac{1}{2} × 4 = 2$；
$△ BOA$的面积为$\frac{1}{2} × |k_2| = \frac{1}{2} × 2 = 1$。
因此，$△ POB$的面积 = $△ POA$的面积 - $△ BOA$的面积 = $2 - 1 = 1$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义、三角形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数k的几何意义的基础应用，核心是利用过反比例函数上点作坐标轴垂线形成的三角形面积与k的关系，通过面积差求解目标三角形面积，属于常规基础题。
【难度系数】
0.3

【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的坐标特征与反比例函数的性质推导面积：首先设点A、C的坐标，利用平行四边形顶点B在y轴上的条件，得到A、C横坐标的关系；再通过平行四边形面积的计算方法，结合反比例函数表达式化简，最终得到面积结果。
【解析】
设点A的坐标为$(m, \frac{k_1}{m})$（因A在第二象限，故$m＜0$，$k_1＜0$，$\frac{k_1}{m}＞0$），点C的坐标为$(n, \frac{k_2}{n})$（因C在第一象限，故$n＞0$，$k_2＞0$）。
由于四边形OABC是平行四边形，且顶点B在y轴上，根据平行四边形的坐标性质：点B的横坐标等于点A与点C横坐标之和，即$m + n = 0$，因此$n = -m$。
平行四边形的面积可通过向量叉积公式计算：$S = |x_A y_C - x_C y_A|$。
代入坐标：$x_A=m$，$y_A=\frac{k_1}{m}$；$x_C=n=-m$，$y_C=\frac{k_2}{n}=\frac{k_2}{-m}$。
计算得：
$x_A y_C - x_C y_A = m · \frac{k_2}{-m} - (-m) · \frac{k_1}{m} = -k_2 + k_1 = k_1 - k_2$。
因$k_1＜0$，$k_2＞0$，故$k_1 - k_2 ＜0$，取绝对值得$|k_1 - k_2|=k_2 - k_1$，即平行四边形OABC的面积为$k_2 - k_1$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数性质、平行四边形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数的坐标特征与平行四边形的性质，关键在于利用顶点在y轴的条件推导A、C的坐标关系，再通过面积公式化简计算，需掌握坐标与图形的结合方法，难度适中。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决本题，需利用反比例函数的对称性、点的坐标特征和三角形面积公式。步骤如下：先设点A的坐标，结合AB垂直x轴确定B的坐标，再根据BC过原点（反比例函数关于原点对称）确定C的坐标，最后利用直角三角形面积公式结合已知面积求解k。
【解析】
设点A的坐标为$(a, \frac{1}{a})$（$a＞0$，因A在$y=\frac{1}{x}(x＞0)$上），
因为$AB⊥x$轴，所以点B的横坐标为$a$，又点B在$y=\frac{k}{x}$上，故点B的坐标为$(a, \frac{k}{a})$。
由于BC经过原点，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象关于原点对称，因此点C与点B关于原点对称，得点C的坐标为$(-a, -\frac{k}{a})$。
由图知$CA// x$轴，$△ ABC$为直角三角形，直角顶点为A，
直角边$AB$的长度为：$\frac{1}{a} - \frac{k}{a} = \frac{1 - k}{a}$，
直角边$AC$的长度为：$a - (-a) = 2a$，
根据三角形面积公式，$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × \frac{1 - k}{a} × 2a = 1 - k$。
已知$S_{△ ABC}=4$，则$1 - k = 4$，解得$k=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
反比例函数性质、三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用反比例函数的对称性确定点C的坐标，化简面积表达式时约去参数a简化计算，需注意直角三角形的直角顶点位置，避免面积计算错误。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决本题，需利用反比例函数中$k$的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，过双曲线上任意一点作$x$轴、$y$轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$，对应的直角三角形面积为$\frac{|k|}{2}$。结合图形，阴影部分面积可通过矩形面积减去两个直角三角形面积计算，再结合$k$的符号（双曲线在第二象限，故$k_1＜0,k_2＜0$）推导$k_1 -k_2$的值。
【解析】
1. 因为双曲线$C_1:y=\frac{k_1}{x}$位于第二象限，所以$k_1＜0$。过点$A$作$AB⊥x$轴、$AC⊥y$轴，矩形$ABOC$的面积为$|k_1|=-k_1$。
2. 同理，双曲线$C_2:y=\frac{k_2}{x}$位于第二象限，故$k_2＜0$。根据反比例函数$k$的几何意义，$S_{△ OBD}=\frac{|k_2|}{2}$，$S_{△ OCE}=\frac{|k_2|}{2}$，因此$S_{△ OBD}+S_{△ OCE}=|k_2|=-k_2$。
3. 已知阴影部分$ADOE$的面积为4，且阴影面积 = $S_{矩形ABOC} - S_{△ OBD} - S_{△ OCE}$，代入得：
$-k_1 - (-k_2)=4$，整理得$-k_1 +k_2=4$，两边同乘$-1$，得$k_1 -k_2=-4$。
【答案】
-4
【知识点】
反比例函数k的几何意义
【点评】
本题考查反比例函数$k$的几何意义，核心是利用图形面积的和差关系结合$k$的几何性质计算，需注意双曲线所在象限对$k$符号的影响，属于中等难度题。
【难度系数】
0.3

【分析】
本题为反比例函数与几何结合的综合题，分三小问逐步分析：第(1)问利用反比例函数上点的坐标特征，结合平行线的性质求A、C坐标，再用待定系数法求直线OC解析式；第(2)问通过构造矩形，利用反比例函数k的几何意义计算四边形面积，判断其是否变化；第(3)问利用角平分线的性质与判定，结合反比例函数上点的坐标关系完成证明。
【解析】
(1) 已知点B(2,3)，AB//x轴，则点A纵坐标与B相同为3，又A在$y=\dfrac{3}{x}$上，令$y=3$，得$x=1$，故$A(1,3)$；BC//y轴，则点C横坐标与B相同为2，代入$y=\dfrac{3}{x}$得$y=\dfrac{3}{2}$，故$C(2,\dfrac{3}{2})$。设直线OC解析式为$y=kx$，代入$C(2,\dfrac{3}{2})$，得$2k=\dfrac{3}{2}$，解得$k=\dfrac{3}{4}$，因此直线OC的解析式为$y=\dfrac{3}{4}x$。
(2) 四边形OABC的面积不变，理由如下：延长BA交y轴于M，延长BC交x轴于N，由BM//x轴、BN//y轴，可知四边形BMON为矩形，其面积为$|6|=6$（B在$y=\dfrac{6}{x}$上，矩形面积等于k的绝对值）。又A、C在$y=\dfrac{3}{x}$上，故$S_{△ AOM}=\dfrac{1}{2}×|3|=\dfrac{3}{2}$，$S_{△ CON}=\dfrac{1}{2}×|3|=\dfrac{3}{2}$，因此$S_{四边形OABC}=S_{矩形BMON}-S_{△ AOM}-S_{△ CON}=6-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}=3$，即面积恒为3，不变化。
(3) 过点C作$CD⊥OA$于D。因为OC平分OA与x轴正半轴的夹角，$CN⊥x轴$，$CD⊥OA$，根据角平分线的性质得$CD=CN$。由B、C在$y=\dfrac{6}{x}$和$y=\dfrac{3}{x}$上，且BC//y轴，得$B(m,\dfrac{6}{m})$，$C(m,\dfrac{3}{m})$，故$BC=\dfrac{6}{m}-\dfrac{3}{m}=\dfrac{3}{m}$，$CN=\dfrac{3}{m}$，因此$BC=CN$，结合$CD=CN$得$CD=CB$。又$CB⊥AB$，$CD⊥OA$，根据角平分线的判定定理，AC是$∠OAB$的平分线。
【答案】
(1) $A(1,3)$，直线OC对应的函数解析式为$y=\dfrac{3}{4}x$；
(2) 四边形OABC的面积不变，为3；
(3) 证明成立；

【知识点】反比例函数、一次函数解析式、角平分线的性质与判定
【点评】本题综合考查反比例函数性质、待定系数法、角平分线的性质与判定，解题核心是利用反比例函数k的几何意义和角平分线的性质转化线段与面积，是典型的函数与几何结合的中档题，需要学生具备数形结合的能力。
【难度系数】0.6