第57页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

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0

 解：

 (1) $\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4，$

 $\therefore$ 该二次函数图象的顶点坐标为$(1,-4)。$

 (2) 令$x=0，$则$y=-3，$

 $\therefore$ 该二次函数图象与$y$轴的交点坐标为$(0,-3)。$

 令$y=0，$则$x^2-2x-3=0，$解得$x_1=3，$$x_2=-1，$

 $\therefore$ 该二次函数图象与$x$轴的交点坐标为$(3,0)$和$(-1,0)。$

 (3) $\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=1，$列表如下：

 描点，连接各点画出开口向上的抛物线即可。

 (4) 由函数图象可得，当$-1≤ x≤ 2$时，$y$的取值范围是$-4≤ y≤ 0。$

【分析】要解决抛物线平移后的顶点坐标问题，需先将原抛物线化为顶点式求出原顶点，再根据“抛物线水平平移时，顶点横坐标按平移方向加减对应单位、纵坐标不变”的规则计算新顶点坐标。
【解析】1. 把原抛物线配方为顶点式：$y=x^2+2x-1=(x^2+2x+1)-1-1=(x+1)^2-2$，可得原抛物线的顶点坐标为$(-1,-2)$；2. 抛物线向右平移3个单位，顶点横坐标加3，纵坐标不变，因此新顶点的横坐标为$-1+3=2$，纵坐标为$-2$，即新顶点坐标为$(2,-2)$。
【答案】D
【知识点】二次函数顶点式、抛物线平移
【点评】本题考查二次函数图像的平移，核心是掌握抛物线平移时顶点坐标的变化规律，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6

【分析】
这道题考查二次函数顶点式的性质，需根据二次函数$y=a(x-h)^2+k$的特点，逐一分析每个选项：先由$a$的符号判断开口方向，再通过解方程或判别式判断与$x$轴的交点，接着根据对称轴和$a$的符号判断增减性，最后确定顶点坐标，从而选出正确选项。
【解析】
二次函数$y=(x-2)^2-3$为顶点式，其中$a=1$，$h=2$，$k=-3$：
1. 选项A：$a=1＞0$，图象开口向上，A错误；
2. 选项B：令$y=0$，解方程$(x-2)^2-3=0$，得$x=2\pm\sqrt{3}$，图象与$x$轴有两个交点，B错误；
3. 选项C：对称轴为$x=2$，$a＞0$，当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，C错误；
4. 选项D：顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，即$(2,-3)$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质、二次函数顶点式
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基础性质，属于常规基础题，需掌握开口方向、顶点坐标、增减性及与坐标轴交点的判断方法，是二次函数的核心考点之一。
【难度系数】
0.6

【分析】
要判断各选项的正确性，需结合二次函数图像的核心性质：先由开口方向确定$a$的符号，由与$x$轴交点求对称轴，推导$a$与$b$的关系，由与$y$轴交点确定$c$的符号，再逐一分析选项；最后利用二次函数的最值性质判断关于任意实数$m$的不等式。
步骤1：根据图像，二次函数开口向下→$a＜0$；与$x$轴交于$(-3,0)$和$(1,0)$→对称轴$x=\frac{-3+1}{2}=-1$，结合对称轴公式得$b=2a$；与$y$轴交于正半轴→$c＞0$。
步骤2：逐一分析选项的符号、等式或不等式是否成立。
【解析】
已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，结合图像性质分析：
1. 开口向下，故$a＜0$；
2. 与$x$轴交点为$(-3,0)$、$(1,0)$，则对称轴$x=\frac{-3+1}{2}=-1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a$；
3. 与$y$轴交于正半轴，故$c＞0$。
对各选项判断：
选项A：$a＜0$，$b=2a＜0$，$c＞0$，则$abc=(-)×(-)×(+)=+＞0$，故$abc＜0$错误；
选项B：$a-b=a-2a=-a$，因$a＜0$，则$-a＞0$，故$a-b=0$错误；
选项C：当$x=-3$时，$y=0$，代入得$9a-3b+c=0$，将$b=2a$代入得$3a+c=0$，即$3a=-c$，故$3a-c=-2c≠0$，错误；
选项D：二次函数开口向下，对称轴为$x=-1$，因此对任意实数$m$，都有$f(m)≤f(-1)$。
$f(m)=am^2+bm+c$，$f(-1)=a(-1)^2+b(-1)+c=a-b+c$，
故$am^2+bm+c ≤a-b+c$，两边减$c$得$am^2+bm ≤a-b$，正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质；对称轴；函数最值
【点评】
本题考查二次函数的图像与基本性质，需结合图像确定$a、b、c$的符号、对称轴，利用函数最值分析不等式，是二次函数的基础题型，需熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.6

【分析】
要判断y₁和y₂的大小，需先分析抛物线y=x²-3的性质：该抛物线是二次函数，先确定其开口方向和对称轴，再结合x₁、x₂的范围判断函数的增减性，进而得出y₁与y₂的关系。
【解析】
1. 确定抛物线性质：对于抛物线y=x²-3，二次项系数a=1＞0，因此抛物线开口向上；对称轴为x=0（y轴）。
2. 判断增减性：当a＞0时，抛物线在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而增大。
3. 结合已知条件：题目中0＜x₁＜x₂，说明x₁、x₂都在对称轴右侧，根据上述增减性，可得y₁＜y₂。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数的性质
【点评】
本题考查二次函数的增减性，属于基础题型，掌握开口向上的二次函数在对称轴右侧的增减规律即可快速解题。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这个问题，核心是利用抛物线的对称性。已知抛物线的对称轴为直线$x=1$，且点$P(4,0)$在抛物线上，根据抛物线关于对称轴对称的性质，可找到与点$P$对称的抛物线上的点，再结合函数值的对应关系，就能求出$4a-2b+c$的值。
【解析】
因为抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的对称轴是直线$x=1$，点$P(4,0)$在该抛物线上。
根据抛物线的对称性：抛物线上关于对称轴对称的两点，横坐标的平均值等于对称轴的横坐标。设与点$P(4,0)$对称的点的横坐标为$x_0$，则$\frac{4 + x_0}{2}=1$，解得$x_0=2×1 -4=-2$，即点$(-2,0)$也在该抛物线上。
将$x=-2$代入抛物线解析式，得$y=a×(-2)^2 + b×(-2) + c=4a -2b + c$，而该点的纵坐标为0，因此$4a -2b + c=0$。
【答案】
0
【知识点】
抛物线对称性；二次函数性质
【点评】
本题无需推导抛物线的具体解析式，仅通过抛物线的对称性即可快速求解，考查了对二次函数对称性的理解与应用，解题思路简洁巧妙。
【难度系数】
0.5

【分析】
本题是二次函数的基础应用问题，解题思路如下：
1. 求顶点坐标：将二次函数一般式通过配方法转化为顶点式，直接得到顶点坐标；
2. 求与坐标轴交点：与y轴交点令x=0求y值，与x轴交点令y=0解一元二次方程得x值，进而确定交点；
3. 画函数图象：先确定抛物线的关键点（顶点、与坐标轴交点），利用对称性补充点，再描点连线；
4. 求函数取值范围：结合图象，观察x在[-1,2]区间内对应的y的最大、最小值，确定y的范围。
【解析】
（1）对二次函数解析式配方：
$y=x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-1-3=(x-1)^2-4$，
因此该二次函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$。
（2）求与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=-3$，故与y轴交点为$(0,-3)$；
求与x轴交点：令$y=0$，则$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，故与x轴交点为$(3,0)$和$(-1,0)$。
（3）画函数图象：
抛物线对称轴为直线$x=1$，选取关键点列表：
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=x^2-2x-3$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ |
根据表格描点，用平滑曲线连接，画出图象如图所示

。
（4）结合图象，当$-1≤x≤2$时，函数在$x=1$处取最小值$-4$，在$x=-1$处取最大值$0$，故$y$的取值范围是$-4≤y≤0$。
【答案】
6. (1) 顶点坐标为$(1,-4)$；
(2) 与$y$轴交点为$(0,-3)$，与$x$轴交点为$(3,0)$和$(-1,0)$；
(3) 图象如图所示

；
(4) $y$的取值范围是$-4≤y≤0$
【知识点】
二次函数的顶点式、二次函数与坐标轴交点、二次函数的图像
【点评】
本题考查二次函数的核心基础知识点，涵盖顶点求解、交点计算、图象绘制及取值范围分析，是巩固二次函数的典型基础题，难度较低。
【难度系数】
0.3