第47页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

D

 解：令$y=0，$则$-x^2+4x+5=0，$解得$x_1=5，$$x_2=-1。$

 ∵点A在点B左侧，

 ∴点B的坐标是$(5,0)。$

 令$x=0，$则$y=-x^2+4x+5=5，$

 ∴点C的坐标是$(0,5)。$

 设直线BC对应的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)，$把$B(5,0)，$$C(0,5)$代入$y=kx+b(k≠0)，$得

 $\begin{cases}5k+b=0,\\b=5,\end{cases}$

 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=5.\end{cases}$

 ∴直线BC对应的函数解析式为$y=-x+5。$

 设点D的坐标是$(x,-x+5)，$则点E的坐标是$(x,-x^2+4x+5)。$

 ∴$DE=-x^2+4x+5-(-x+5)=-x^2+5x=-(x-\frac{5}{2})^2+\frac{25}{4}。$

 ∵二次项系数为$-1＜0，$

 ∴DE长的最大值为$\frac{25}{4}。$

C

 解：

(1)

 ∵关于x的二次函数$y=-x^2+mx+m+1$的顶点的横坐标是1，即该二次函数的图象的对称轴为直线$x=1，$

 ∴$-\frac{m}{2×(-1)}=1，$解得$m=2。$

 ∴该二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+3。$

 (2) 由

 (1)可知，$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4。$

 ∵$-1＜0，$

 ∴该函数图象开口向下，且对称轴为直线$x=1，$顶点坐标为$(1,4)。$

 ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。

 ∵当$n≤ x≤ n+4$时，该二次函数有最大值$-5，$且$-5＜4，$

 ∴当$n≤ x≤ n+4$时，函数图象均在对称轴的同侧。

 若$n≤ x≤ n+4$在对称轴的右侧，可知$n＞1，$当$x=n$时，该函数有最大值，即$-n^2+2n+3=-5，$

 解得$n=4$或$n=-2$(舍去)；

 若$n≤ x≤ n+4$在对称轴的左侧，可知$n+4＜1，$即$n＜-3，$当$x=n+4$时，该函数有最大值，即$-(n+4)^2+2(n+4)+3=-5，$

 解得$n=-6$或$n=0$(舍去)。

 综上所述，$n=-6$或$n=4。$

【分析】
要解决这道题，需利用二次函数顶点式的性质：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$a$决定开口方向，$a＞0$时抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为顶点纵坐标$k$；$a＜0$时开口向下，函数有最大值，最大值为$k$。本题中函数是顶点式，先确定$a$和$k$的值，再判断最值情况，进而选出正确选项。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-3)^2+4$，其符合顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$a=2$，$h=3$，$k=4$。
因为$a=2＞0$，所以抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值为顶点的纵坐标$k=4$。
因此该函数有最小值4，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数顶点式的最值性质，属于基础题型，只要掌握顶点式中$a$与$k$的意义，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8

【分析】
要计算DE的最大值，需先明确点D、E的坐标关联：首先求出抛物线与x轴、y轴的交点B、C，进而得到直线BC的解析式；由于D在线段BC上，E在抛物线上且DE垂直x轴，因此D、E横坐标相同，将DE的长度表示为关于横坐标的二次函数，再利用二次函数的性质求其最大值。
【解析】
1. 求抛物线与坐标轴的交点：
令$ y=0 $，则$-x^2 +4x +5=0$，解方程得$x_1=5$，$x_2=-1$。
因点A在点B左侧，故点B的坐标为$(5,0)$；
令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=5$，故点C的坐标为$(0,5)$。
2. 求直线BC的解析式：
设直线BC的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$B(5,0)$、$C(0,5)$代入得：
$\begin{cases}5k + b=0 \\ b=5 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1 \\ b=5 \end{cases}$，因此直线BC的解析式为$y=-x+5$。
3. 计算DE的长度并求最大值：
设点D的横坐标为$x$（$0＜x＜5$，因D在线段BC上），则点D坐标为$(x, -x+5)$，点E坐标为$(x, -x^2+4x+5)$。
由于E在D上方，故$DE = (-x^2+4x+5) - (-x+5) = -x^2 +5x$。
对$DE=-x^2+5x$配方得：$DE=-(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4}$。
因二次项系数$-1＜0$，故当$x=\frac{5}{2}$时，DE取得最大值$\frac{25}{4}$。
【答案】
$\frac{25}{4}$
【知识点】
二次函数的最值、一次函数解析式、抛物线与坐标轴交点
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，通过坐标关系将线段长度转化为二次函数，利用二次函数性质求最值，考查了坐标表示、直线解析式求解及二次函数最值的应用，是初中数学的重点内容。
【难度系数】
0.5

【分析】要确定该二次函数在0≤x≤3范围内的最值，需观察图像：先找到区间内函数的最低点（顶点），其纵坐标为最小值；再找到区间右端点x=3对应的函数值，即为最大值，据此判断选项。
【解析】观察图像，该二次函数在0≤x≤3范围内，顶点坐标为(1,-1)，因此函数的最小值为-1；当x=3时，函数值为3，是该区间内的最大值。所以函数有最小值-1，最大值3，对应选项C。
【答案】C
【知识点】二次函数的图像、二次函数的最值
【点评】本题通过二次函数图像判断区间内的最值，关键是明确区间内的顶点和端点对应的函数值，属于基础题，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】0.8

【分析】
要解决本题，需结合给定的自变量取值范围和二次函数图像，确定该范围内函数的最大值与最小值。首先观察图像，二次函数的顶点是函数的最高点，对应最大值；再结合自变量的取值范围，找到区间内的最小值点，通过图像读取对应函数值即可判断。
【解析】
1. 找最大值：从图像可知，二次函数的顶点坐标为$(-1,4)$，顶点是函数的最高点，因此在所给自变量范围内，函数的最大值为4。
2. 找最小值：题目中自变量的取值范围是$-2≤ x≤\sqrt{6}-1$，观察图像，区间右端点$x=\sqrt{6}-1$对应的函数值为$-2$，且在该区间内，所有点的函数值都大于等于$-2$，因此函数的最小值为$-2$。
综上，在所给自变量范围内，函数有最大值4，有最小值$-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值；函数图像的应用
【点评】
本题考查二次函数在给定区间内的最值，核心是结合图像确定顶点的最大值，再对比区间端点的函数值确定最小值，需注意严格按照给定的自变量范围分析，避免超出范围判断。
【难度系数】
0.5

【分析】
首先，二次函数顶点的横坐标对应其对称轴，利用对称轴公式可求出参数$m$，进而确定解析式；其次，将函数化为顶点式，明确开口方向、对称轴及单调性，结合最大值小于顶点值，判断区间与对称轴的位置关系，分情况讨论区间在对称轴左侧或右侧，根据单调性求最大值，解方程并取舍得到$n$的值。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=-x^2+mx+m+1$，其中$a=-1$，$b=m$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。已知顶点横坐标为1，即对称轴为直线$x=1$，代入得：
$-\frac{m}{2×(-1)}=1$，解得$m=2$。
因此，二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 将解析式化为顶点式：
$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$。
因为$a=-1＜0$，函数图象开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,4)$，在对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧随$x$增大而减小。
已知当$n≤x≤n+4$时，最大值为$-5＜4$，说明区间$[n, n+4]$不在顶点处，分两种情况：
① 若区间在对称轴右侧（$n＞1$），函数在区间内随$x$增大而减小，最大值在$x=n$处取得：
$-n^2+2n+3=-5$，整理得$n^2-2n-8=0$，解得$n=4$或$n=-2$，因$n＞1$，舍去$n=-2$，得$n=4$。
② 若区间在对称轴左侧（$n+4＜1$即$n＜-3$），函数在区间内随$x$增大而增大，最大值在$x=n+4$处取得：
$-(n+4)^2+2(n+4)+3=-5$，整理得$n^2+6n+8=0$，解得$n=-6$或$n=-2$，因$n＜-3$，舍去$n=-2$，得$n=-6$。
综上，$n=-6$或$n=4$。
【答案】
$n=-6$或$n=4$
【知识点】
二次函数的对称轴；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数的性质，需利用对称轴公式求参数，结合函数单调性分类讨论区间与对称轴的位置，关键是正确分类并取舍不符合条件的解，避免漏解。
【难度系数】
0.5