第46页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

B

A

D

C

【分析】要判断抛物线$y=ax^2+bx+c$中$a、b、c$的符号，需结合抛物线的三个核心性质分析：①开口方向决定$a$的符号；②对称轴位置结合公式$x=-\frac{b}{2a}$推导$b$的符号；③抛物线与$y$轴交点的纵坐标为$c$，交点位置直接决定$c$的符号。
【解析】1. 确定$a$的符号：抛物线开口向下，因此$a＜0$；2. 确定$b$的符号：对称轴在$y$轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，已知$a＜0$，代入得$-\frac{b}{2a}＞0$，由于分母$2a＜0$，要使分数值为正，则分子$-b＜0$，即$b＞0$；3. 确定$c$的符号：抛物线与$y$轴交于正半轴，因此$c＞0$。综上，$a＜0,b＞0,c＞0$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【点评】本题考查二次函数图象与系数的对应关系，是基础题型，需掌握开口方向、对称轴、与$y$轴交点和系数的关联，难度适中。
【难度系数】0.3

【分析】
要判断一次函数与二次函数的图象是否匹配，需分别分析两个函数的核心性质：
1. 二次函数$y=x^2 - a$：二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，顶点在y轴上，坐标为$(0, -a)$；
2. 一次函数$y=ax + 1$：与y轴交点为$(0,1)$，一定在y轴正半轴，斜率$a$决定直线倾斜方向。
首先根据二次函数开口方向排除开口向下的选项B、D；再分析剩余选项A、C：
选项A中，一次函数斜率为正，故$a＞0$，则二次函数顶点纵坐标$-a＜0$，即顶点在y轴负半轴，与A中抛物线顶点位置一致，符合条件；
选项C中，一次函数斜率为负，故$a＜0$，则二次函数顶点纵坐标$-a＞0$，即顶点应在y轴正半轴，但C中抛物线顶点在y轴负半轴，矛盾，排除。
【解析】
解：对于二次函数$y=x^2 - a$，二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，可排除开口向下的选项B、D；
对于一次函数$y=ax + 1$，其与y轴交于$(0,1)$，在y轴正半轴：
选项A中，一次函数斜率为正，说明$a＞0$，则二次函数顶点$(0,-a)$的纵坐标为负，即顶点在y轴负半轴，与A中抛物线的顶点位置一致，符合要求；
选项C中，一次函数斜率为负，说明$a＜0$，则二次函数顶点$(0,-a)$的纵坐标为正，即顶点应在y轴正半轴，但C中抛物线顶点在y轴负半轴，两者矛盾，排除。
综上，正确答案为A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象性质、二次函数图象性质
【点评】
本题结合一次函数和二次函数的图象特征，通过分析开口方向、顶点位置、与y轴交点等关键信息，逐一排除错误选项，考查函数图象的识别与分析能力。
【难度系数】
0.3

【分析】
要判断一次函数$y=ax - c$与二次函数$y=ax^2 +4x +c$的图象是否匹配，需利用两函数中参数$a$、$c$的一致性，结合：①二次函数开口方向由$a$决定，一次函数斜率由$a$决定；②两函数在$y$轴的截距（$x=0$时的函数值）分别为$-c$和$c$，即截距互为相反数；③二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{a}$，判断对称轴位置，逐一分析选项排除错误答案。
【解析】
1. 分析参数$a$的符号：
二次函数$y=ax^2 +4x +c$开口方向由$a$决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
一次函数$y=ax -c$的斜率为$a$，斜率正负与$a$一致。
选项A：二次开口向上→$a＞0$，但一次函数斜率为负→$a＜0$，矛盾，排除；
选项B：二次开口向下→$a＜0$，但一次函数斜率为正→$a＞0$，矛盾，排除；
2. 分析$y$轴截距：
当$x=0$时，一次函数值为$-c$，二次函数值为$c$，故两函数在$y$轴的交点分别为$(0,-c)$和$(0,c)$，截距互为相反数。
选项C：两函数在$y$轴交于同一点→$-c=c$→$c=0$，此时二次函数为$y=ax^2 +4x$，与$x$轴交点为$x=0$和$x=-\frac{4}{a}$，因$a＞0$，另一交点在$x$负半轴，但选项C中二次函数与$x$轴右半轴有交点，矛盾，排除；
3. 验证选项D：
二次函数开口向下→$a＜0$，一次函数斜率为负→$a＜0$，一致；
$x=0$时，二次函数在$y$轴正半轴→$c＞0$，一次函数在$y$轴负半轴→$-c＜0$，符合截距互为相反数；
二次函数对称轴$x=-\frac{2}{a}$，因$a＜0$，故对称轴在$y$轴右侧，与选项D中二次函数对称轴位置一致，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象、二次函数图象、函数参数关系
【点评】
本题结合一次函数与二次函数的图象性质，利用参数$a$、$c$的一致性进行分析，需熟练掌握函数图象与参数的对应关系，是常见的函数图象综合题。
【难度系数】
0.5

【分析】
要判断各结论是否正确，需结合二次函数的核心性质：由图像开口向上得$a＞0$；对称轴$x=-1$，即$-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a＞0$；图像与$y$轴交于负半轴得$c＜0$；与$x$轴有两个交点得判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$。再逐一利用对称轴、函数值与$x$的关系、不等式变形、方程根的对称性推导各结论。
【解析】
1. 判断①$abc＞0$：
由$a＞0$，$b=2a＞0$，$c＜0$，得$abc=a· b· c＜0$，故①错误。
2. 判断②$b^2-4ac＞0$：
二次函数图像与$x$轴有两个交点，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，故②正确。
3. 判断③$4a+c＞0$：
由对称轴$x=-1$得$b=2a$，当$x=1$时，函数值$y=a+b+c=a+2a+c=3a+c$，由图像知$x=1$时$y＜0$，即$3a+c＜0$；又因左交点在$(-3,-2)$之间，$x=-3$时$y=9a-3b+c=3a+c＞0$，则$4a+c=(3a+c)+a＞0+a＞0$，故③正确。
4. 判断④$a-bt≤ at^2+b$：
移项整理得$at^2+bt+b-a≥0$，代入$b=2a$，得$at^2+2at+a=a(t+1)^2$，因$a＞0$，$(t+1)^2≥0$，故$a(t+1)^2≥0$，原不等式成立，故④正确。
5. 判断⑤$x_1+2x_2=-2$：
方程$ax^2+bx+c-2=0$的根是函数$y=ax^2+bx+c$与$y=2$的交点横坐标，已知一根为$\frac{1}{2}$，设另一根为$x_2$，由对称性得两根和$x_1+x_2=-2$；若$x_1+2x_2=-2$，联立得$x_2=0$，此时$x_1=-2$，但$x=0$时$y=c＜0≠2$，矛盾，故⑤错误。
综上，正确结论为②③④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质；判别式；方程根的对称性
【点评】
本题综合考查二次函数的图像与性质，需熟练运用开口方向、对称轴、判别式等知识点，结合代数变形和对称性逐一判断，是二次函数的典型综合题型。
【难度系数】
0.5

【分析】
要判断各结论是否正确，需结合二次函数的图像性质：开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等，逐一分析每个结论。首先根据对称轴公式推导a与b的关系，再利用函数最值、特定点的函数值、等式变形等方法验证各结论。
【解析】
1. 分析结论①：二次函数的对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$2a+b=0$，故①正确。
2. 分析结论②：抛物线开口向下，因此当$x=1$时，函数取得最大值，即对任意实数$m$，都有$f(1)≥ f(m)$。代入函数表达式得：$a+b+c≥ am^2+bm+c$，两边消去常数项$c$，可得$a+b≥ am^2+bm$，故②正确。
3. 分析结论③：$a-b+c$是$x=-1$时的函数值，即$f(-1)$。由图像可知，抛物线与$x$轴的左交点在$(-1,0)$之间，因此当$x=-1$时，函数值在$x$轴下方，即$f(-1)=a-b+c＜0$，故③错误。
4. 分析结论④：由结论①知$b=-2a$，代入$f(-1)=a-b+c$得：$f(-1)=a-(-2a)+c=3a+c$，结合结论③中$f(-1)＜0$，可得$3a+c＜0$，故④正确。
5. 分析结论⑤：将等式$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$移项得$a(x_1^2-x_2^2)+b(x_1-x_2)=0$，因式分解得$(x_1-x_2)(a(x_1+x_2)+b)=0$。因为$x_1≠ x_2$，所以$a(x_1+x_2)+b=0$，即$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，又因为$b=-2a$，所以$x_1+x_2=2$，故⑤正确。
综上，正确的结论有①②④⑤，共4个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像性质、对称轴公式、函数最值
【点评】
本题综合考查二次函数的图像与性质，需熟练运用对称轴公式、函数值的几何意义，结合图像逐一分析各结论，是二次函数的典型综合题型。
【难度系数】
0.5