第48页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

A

B

144

$4\sqrt{3}\ \mathrm{dm^2}$

 解：

 (1) $y=40-2x。$由题意，得

 $\begin{cases}40-2x＞0,\\40-2x≤20,\end{cases}$

 解得$10≤ x＜20。$

 $\therefore y=40-2x\ (10≤ x＜20)。$

 (2) 设矩形菜园的面积为$S\ \mathrm{m^2}。$

 根据题意，得$S=(40-2x)x=-2x^2+40x=-2(x^2-20x+100)+200=-2(x-10)^2+200。$

 $\because -2＜0，$$10≤ x＜20，$

 $\therefore$ 当$x=10$时，$S$有最大值200。

 $\therefore$ 当$x$的值为10时，围成的矩形菜园的面积最大，最大面积是$200\ \mathrm{m^2}。$

【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设矩形的边长，结合周长表示出另一边长，进而建立面积的函数表达式，利用二次函数的性质求面积最大时的边长。具体思路：1. 设矩形的一边长为$x$，根据周长求出相邻的另一边长；2. 写出矩形面积关于$x$的函数；3. 利用二次函数的最值性质，求出面积最大时对应的边长。
【解析】
设矩形的一边长为$x$（$x＞0$），因为矩形周长为12，所以相邻的另一边长为$\frac{12}{2} - x = 6 - x$，且$6 - x ＞ 0$，即$0 ＜ x ＜ 6$。
矩形的面积$S = x(6 - x) = -x^2 + 6x$，这是开口向下的二次函数（二次项系数$a=-1＜0$），其顶点处取得最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x = -\frac{b}{2a}$，代入得：
$x = -\frac{6}{2×(-1)} = 3$
即当$x=3$时，矩形面积最大，此时一边长为3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的最值、矩形的周长与面积
【点评】
本题是二次函数在几何最值中的基础应用，核心是通过周长建立边长关系，构造面积函数，利用二次函数性质求最值，难度较低，属于学生易掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设未知数表示直角边，利用面积公式建立函数关系，再求函数的最大值。首先设其中一条直角边长为$x\ \mathrm{cm}$，根据两直角边之和为20 cm，可得另一条直角边长为$(20-x)\ \mathrm{cm}$，再结合直角三角形面积公式得到面积表达式，最后通过二次函数的性质求出最大面积。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为$x\ \mathrm{cm}$，则另一条直角边长为$(20-x)\ \mathrm{cm}$。
根据直角三角形面积公式，面积$S=\frac{1}{2}×\mathrm{直角边}_1×\mathrm{直角边}_2$，可得：
$S=\frac{1}{2}x(20-x)=-\frac{1}{2}x^2+10x$
该式为二次函数，二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，函数图象开口向下，存在最大值，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})}=10$。
将$x=10$代入面积公式，得最大面积：
$S=\frac{1}{2}×10×(20-10)=50\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；直角三角形面积计算
【点评】
本题是基础的最值应用题，通过建立二次函数模型求解直角三角形的最大面积，考察学生对面积公式和二次函数性质的掌握，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6

【分析】要确定铅球推出的最远距离，需明确铅球落地时高度$ y = 0 $，此时对应的水平距离$ x $即为所求，因此只需令函数中$ y = 0 $，解关于$ x $的一元二次方程，取正根即可。
【解析】令$ y = 0 $，则有：
$-\frac{1}{12}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3} = 0$
两边同乘12消去分母得：
$-x^2 + 8x + 20 = 0$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 8x - 20 = 0$
因式分解得：
$(x - 10)(x + 2) = 0$
解得$ x = 10 $或$ x = -2 $，由于水平距离不能为负，故舍去$ x = -2 $，因此铅球推出的最远距离为$ 10\ \mathrm{m} $。
【答案】B
【知识点】二次函数的应用、一元二次方程的解法
【点评】本题考查二次函数在实际问题中的应用，核心是理解“最远距离对应$ y=0 $”的实际意义，通过解一元二次方程得到结果，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.7

【分析】
要解决这个问题，需先理清边长关系：设垂直于墙的边长为$ x $米，因有三间饲养室，中间2道隔墙加两端垂直墙，共4道垂直于墙的墙；平行于墙的总长度为$ y $米。根据建墙总长度48米，可得$ 4x + y = 48 $，即$ y = 48 - 4x $。总占地面积为矩形面积，将$ y $代入后得到关于$ x $的二次函数，利用二次函数性质求最大值，同时需满足平行于墙的边长不超过墙长50米的限制。
【解析】
设垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，平行于墙的总长度为$ y \, \mathrm{m} $。
根据建墙总长度为48 m，得：
$ 4x + y = 48 $，即$ y = 48 - 4x $。
总占地面积$ S = x · y = x(48 - 4x) = -4x^2 + 48x $。
该二次函数开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{48}{2 × (-4)} = 6 $。
此时$ y = 48 - 4 × 6 = 24 \, \mathrm{m} $，且$ 24 ＜ 50 \, \mathrm{m} $，符合墙长限制。
将$ x = 6 $代入面积公式，得最大占地面积：
$ S = 6 × 24 = 144 \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
144
【知识点】
二次函数的应用；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数在实际几何问题的典型应用，关键是建立边长与建墙总长度的关系，构造面积的二次函数，利用二次函数性质求最值，同时需注意实际问题中自变量的取值范围限制。
【难度系数】
0.5

【分析】
首先根据直角三角形的性质求出△ABC的边长，再利用平行四边形的性质得到△AEF与△ACB相似，设未知数表示平行四边形的底和高，将平行四边形面积转化为关于未知数的二次函数，最后用二次函数的性质求最大值。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=8\ \mathrm{dm}$，
$\therefore BC = AB·\sin30°=8×\frac{1}{2}=4\ \mathrm{dm}$，
$AC = AB·\cos30°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\ \mathrm{dm}$。
$\because$ 四边形$EFDB$是平行四边形，$\therefore EF// BC$，
$\therefore △ AEF∽△ ACB$，$\therefore \frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}$。
设$AF=x\ \mathrm{dm}$，则$FC=(4\sqrt{3}-x)\ \mathrm{dm}$，
由$\frac{EF}{4}=\frac{x}{4\sqrt{3}}$，得$EF=\frac{x}{\sqrt{3}}\ \mathrm{dm}$。
$\because ∠ C=90°$，$EF// BC$，$\therefore FC$是平行四边形$EFDB$的高，
$\therefore$ 平行四边形$EFDB$的面积$S=EF· FC=\frac{x}{\sqrt{3}}(4\sqrt{3}-x)=4x-\frac{x^2}{\sqrt{3}}$。
对于二次函数$S=-\frac{1}{\sqrt{3}}x^2+4x$，其中$a=-\frac{1}{\sqrt{3}}＜0$，函数开口向下，
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-\frac{1}{\sqrt{3}})}=2\sqrt{3}$时，$S$取得最大值，
代入得$S_{\mathrm{max}}=4×2\sqrt{3}-\frac{(2\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}-4\sqrt{3}=4\sqrt{3}\ (\mathrm{dm}^2)$。
【答案】
$4\sqrt{3}\ \mathrm{dm}^2$
【知识点】
直角三角形性质、平行四边形面积、二次函数最值
【点评】
本题是代数几何综合题，结合直角三角形、平行四边形与二次函数知识，通过建立面积的二次函数模型求最值，需掌握相似三角形性质和二次函数最值的求解方法。
【难度系数】
0.4

【分析】首先根据篱笆总长度与矩形各边的关系推导y关于x的函数解析式，再结合边长为正、墙长限制确定自变量x的取值范围；最后利用矩形面积公式得到面积关于x的二次函数，通过二次函数性质求最大值，需验证顶点是否在自变量取值范围内。
【解析】(1) 由篱笆总长度为40m，可知垂直于墙的两边AB、CD的长度和为2x，平行于墙的边BC长为y，因此 $2x + y = 40$，整理得 $y = 40 - 2x$。
结合实际条件：边长为正，且BC长度不超过墙长20m，列不等式组：
$\begin{cases}40 - 2x ＞ 0 \\ 40 - 2x ≤ 20\end{cases}$
解第一个不等式得 $x ＜ 20$，解第二个不等式得 $x ≥ 10$，故自变量x的取值范围为 $10 ≤ x ＜ 20$，因此y关于x的函数解析式为 $y = 40 - 2x\ (10 ≤ x ＜ 20)$。
(2) 设矩形菜园的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式：
$S = AB × BC = x · y = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x$
将二次函数配方为顶点式：
$S = -2(x^2 - 20x) = -2[(x - 10)^2 - 100] = -2(x - 10)^2 + 200$
因为二次项系数$-2 ＜ 0$，函数图象开口向下，顶点为最大值点，顶点横坐标$x = 10$，刚好在$10 ≤ x ＜ 20$范围内，因此当$x = 10$时，$S$取得最大值200。
【答案】(1) $y = 40 - 2x\ (10 ≤ x ＜ 20)$；(2) 当$x = 10$时，围成的矩形菜园面积最大，最大面积为$200\ \mathrm{m}^2$
【知识点】一次函数应用、二次函数最值、矩形面积
【点评】本题为实际应用类代数题，需从图形中分析篱笆组成建立函数模型，自变量取值范围需结合实际条件确定，求二次函数最值时要验证顶点是否在取值范围内，考察数学建模能力。
【难度系数】0.6